Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
3. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-3)^{n}}{n^{3}}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-3)^{n}}{n^{3}}
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. O conteúdo principal aqui são os testes de convergência para séries com termo geral envolvendo potência exponencial.

Passo 2

Verificamos a convergência absoluta, isto é, a série
\sum_{n=1}^{\infty}\biggl|\frac{(-3)^{n}}{n^{3}}\biggr| =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^{n}}{n^{3}}.
Aplicamos o teste da raiz n-ésima:
\sqrt[n]{\frac{3^{n}}{n^{3}}} =\frac{3}{n^{3/n}} \quad\longrightarrow\quad 3 \quad(\text{quando }n\to\infty),
e como 3>1, a série de termos positivos diverge. Logo, não é absolutamente convergente.

Passo 3

Mesmo sem considerar valor absoluto, basta notar que
\frac{(-3)^{n}}{n^{3}}
não tende a zero, pois
\lim_{n\to\infty}\biggl|\frac{(-3)^{n}}{n^{3}}\biggr| =\lim_{n\to\infty}\frac{3^{n}}{n^{3}}=\infty\neq0.
Como o termo geral não converge a zero, a série diverge por teste da divergência.

Resposta

A série é divergente.

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