Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para descobrir se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Isso faz parte do estudo de séries numéricas, especificamente sobre a convergência de séries. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que é bem útil para esse tipo de série.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma série ser absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente:
Absolutamente convergente: Se a série dos valores absolutos converge.
Condicionalmente convergente: Se a série original converge, mas a série dos valores absolutos não converge.
Divergente: Se a série original não converge.
Então, vamos começar analisando a série dos valores absolutos: .
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teste da Razão para a série dos valores absolutos. O teste diz que, para uma série sum an, calculamos o limite:
L = limn to infty |an+1an|
Se L < 1, a série converge.
Se L > 1, a série diverge.
Se L = 1, o teste é inconclusivo.
Então, vamos calcular esse limite para an = n^n5^2 n+3.
Agora, sabendo que limn to infty (1 + 1n)^n = e, temos:
L = limn to infty (1 + 1n)^n cdot n+125 = e cdot limn to infty n+125 = e cdot infty = infty
Como L = infty > 1, pelo Teste da Razão, a série dos valores absolutos diverge.
Passo 6
Como a série dos valores absolutos diverge, sabemos que a série original não é absolutamente convergente. Agora, precisamos verificar se ela é condicionalmente convergente ou simplesmente divergente.
Vamos analisar a série original sumn=1^infty (-n)^n5^2 n+3.
Observando o termo geral (-n)^n5^2 n+3, vemos que o valor absoluto está crescendo muito rápido devido ao n^n no numerador e a 5^2n no denominador. Isso sugere que os termos não estão tendendo a zero, um requisito básico para a convergência de uma série.
Passo 7
De fato, para qualquer série sum an convergir, é necessário que limn to infty an = 0. Vamos verificar isso:
limn to infty (-n)^n5^2 n+3 = limn to infty n^n5^2n+3 cdot (-1)^n
Como n^n cresce exponencialmente e 5^2n também, mas de fato 5^2n = (5^2)^n = 25^n, comparando as taxas de crescimento:
n^n25^n = (n25)^n
À medida que n cresce, n25 também cresce sem limite, então (n25)^n to infty. Portanto:
limn to infty n^n25^n = infty
Isso significa que:
limn to infty (-n)^n5^2 n+3 não existe (tende ao infinito) ã