Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que nos pede para determinar se a série
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos utilizar conceitos de séries infinitas e testes de convergência, como o teste da razão.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para facilitar a análise. Observamos que:
Aqui, reescrevemos como , simplificando a expressão.
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento do termo . Sabemos que , então tende a zero conforme aumenta. Isso nos indica que a série pode ser convergente.
Passo 4
Para confirmar a convergência da série, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste consiste em calcular o limite:
Se , a série converge absolutamente; se , diverge; se , o teste é inconclusivo.
Passo 5
Vamos calcular an = (1 + 1n) (59)^n e an+1 = (1 + 1n+1) (59)^n+1 :
an+1an = 1 + 1n+11 + 1n cdot 59
Agora, calculamos a razão :
Passo 6
Simplificando a expressão da razão:
1 + 1n+11 + 1n = n+2n+1n+1n = n(n+2)(n+1)^2
Então:
an+1an = n(n+2)(n+1)^2 cdot 59
Passo 7
Calculando o limite quando L = limn to infty n(n+2)(n+1)^2 cdot 59 = limn to infty n^2 + 2nn^2 + 2n + 1 cdot 59 = 59 tende ao infinito:
Como , pelo Teste da Razão, a série converge absolutamente.