Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sumn=1^infty (n+1) 5^nn 3^2 n

Passo 1

Vamos resolver o exercício que nos pede para determinar se a série
sumn=1^infty (n+1) 5^nn 3^2 n
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos utilizar conceitos de séries infinitas e testes de convergência, como o teste da razão.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para facilitar a análise. Observamos que:
(n+1) 5^nn 3^2 n = n+1n cdot 5^n3^2n = (1 + 1n) cdot (59)^n
Aqui, reescrevemos como , simplificando a expressão.

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento do termo . Sabemos que , então tende a zero conforme aumenta. Isso nos indica que a série pode ser convergente.

Passo 4

Para confirmar a convergência da série, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste consiste em calcular o limite:
L = limn to infty | an+1an |
Se , a série converge absolutamente; se , diverge; se , o teste é inconclusivo.

Passo 5

Vamos calcular an = (1 + 1n) (59)^n e an+1 = (1 + 1n+1) (59)^n+1 :
an+1an = 1 + 1n+11 + 1n cdot 59
Agora, calculamos a razão :

Passo 6

Simplificando a expressão da razão:
1 + 1n+11 + 1n = n+2n+1n+1n = n(n+2)(n+1)^2
Então:
an+1an = n(n+2)(n+1)^2 cdot 59

Passo 7

Calculando o limite quando L = limn to infty n(n+2)(n+1)^2 cdot 59 = limn to infty n^2 + 2nn^2 + 2n + 1 cdot 59 = 59 tende ao infinito:
Como , pelo Teste da Razão, a série converge absolutamente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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