Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. sumn=1^infty (-1)^n5 n+1

Passo 1

Temos a série sumn=1^infty (-1)^n5n+1. O conteúdo envolve testes de convergência de séries: verificaremos primeiro a convergência absoluta e depois aplicaremos o teste de Leibniz para séries alternadas.

Passo 2

Para ver se converge absolutamente, consideramos a série de termos positivos
sumn=1^infty l|tfrac(-1)^n5n+1r| = sumn=1^infty 15n+1
Fazendo o teste da comparação ou comparação-limite com a série harmônica sum 1/n, temos
limntoinfty 1/(5n+1)1/n = limntoinfty n5n+1 = 15 > 0
Como sum 1/n diverge, segue que sum 1/(5n+1) também diverge. Logo, não há convergência absoluta.

Passo 3

Agora aplicamos o teste de Leibniz à série alternada sum (-1)^n an com an = 1/(5n+1). Precisamos checar que:
  1. an > 0 para todo n.
  2. (an) é decrescente, pois a função f(x)=1/(5x+1) decresce em x>0.
  3. limntoinftyan = limntoinftytfrac15n+1 = 0
    Todas as condições do teste de Leibniz são satisfeitas, logo a série alternada converge.

Passo 4

Como não há convergência absoluta, mas a série alternada converge pelo teste de Leibniz, concluímos que a série é condicionalmente convergente.

Resposta

A série é condicionalmente convergente.

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