Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. sumn=1^infty 1+2 sin (n)n^3

Passo 1

Temos a série sumn=1^infty 1+2sin(n)n^3. O conteúdo envolve convergência de séries numéricas, em particular convergência absoluta e séries do tipo p-série. Vamos usar o teste da p-série e o teste de comparação.

Passo 2

Para verificar convergência absoluta, consideramos sumn=1^infty |1+2sin(n)n^3|. Pela desigualdade triangular, l|1+2sin(n)r|<=1+2|sin(n)|<=3. Então
|1+2sin(n)n^3|<=3n^3
Como sumn=1^infty3n^3=3sumn=1^infty1n^3 converge (p=3>1), pelo teste de comparação concluímos que a série absoluta converge. Portanto, a série original é absolutamente convergente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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