Encontre o comprimento de arco do gráfico de r(t).
r(t)=t^2 i+(cos t+t sen t) j+(sen t-t cos t) k ;
0 <= t <= pi

Passo 1

Temos uma curva em ℝ³ dada por r(t)=t^2,i+(cos t + tsin t),j+(sin t - tcos t),k para 0<= t<=pi. O conteúdo envolvido é comprimento de arco de curva parametrizada, que exige derivar cada componente e integrar a norma da velocidade.

Passo 2

Derivando cada componente em relação a t:
x(t)=t^2 implica x'(t)=2t.
y(t)=cos t + tsin t implica
y'(t)=-sin t + sin t + tcos t = tcos t.
z(t)=sin t - tcos t implica
z'(t)=cos t - (cos t - tsin t) = tsin t.

Passo 3

A norma da velocidade é
|r'(t)|=raiz(2t)^2+(tcos t)^2+(tsin t)^2
Dentro da raíz temos:
(2t)^2 + t^2(cos^2 t+sin^2 t) = 4t^2 + t^2 = 5t^2
Logo
|r'(t)| = raiz5t^2 = raiz5,t

Passo 4

O comprimento de arco L é dado pela integral
L = integral0^pi |r'(t)| ,dt = integral0^pi raiz5,t ,dt
Fazendo a integração:
L = raiz5 integral0^pi t ,dt = raiz5 [tfract^22]0^pi = tfracpi^2raiz52

Resposta

dfracpi^2raiz52

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