Determine se a série alternada converge e justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede para verificar a convergência da série alternada
.
O conteúdo que vamos usar é:
O conteúdo que vamos usar é:
- O Teste da Divergência (se o termo geral não tende a zero, a série diverge).
- O Teste de Leibniz (Série alternada converge se os termos positivos são monotonicamente decrescentes e tendem a zero).
Passo 2
Defina
de modo que o termo geral da série é
. Para que qualquer série (alternada ou não) possa convergir, é necessário que
Aqui basta verificar o limite de
:
Portanto
, e logo
não é zero.
Passo 3
Como o termo geral
não tende a zero, a série não satisfaz a condição necessária de convergência. Logo a série diverge, sem necessidade de aplicar o teste completo de Leibniz.
Resposta
A série diverge.