Determine se a série alternada converge e justifique sua resposta.
\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1} \frac{k+1}{\sqrt{k}+1}

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série alternada \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\,\frac{k+1}{\sqrt{k}+1}.
O conteúdo que vamos usar é:
  1. O Teste da Divergência (se o termo geral não tende a zero, a série diverge).
  2. O Teste de Leibniz (Série alternada converge se os termos positivos são monotonicamente decrescentes e tendem a zero).

Passo 2

Defina
b_k = \frac{k+1}{\sqrt{k}+1},
de modo que o termo geral da série é u_k = (-1)^{k+1}b_k. Para que qualquer série (alternada ou não) possa convergir, é necessário que
\lim_{k\to\infty} u_k = 0.
Aqui basta verificar o limite de b_k:
\lim_{k\to\infty} b_k = \lim_{k\to\infty}\frac{k+1}{\sqrt{k}+1} = \lim_{k\to\infty}\frac{k\bigl(1+\tfrac1k\bigr)}{\sqrt{k}\bigl(1+\tfrac1{\sqrt{k}}\bigr)} = \lim_{k\to\infty}\frac{\sqrt{k}\bigl(\sqrt{k}+\tfrac1{\sqrt{k}}\bigr)}{1+\tfrac1{\sqrt{k}}} \sim \lim_{k\to\infty}\sqrt{k} = \infty.
Portanto \lim_{k\to\infty}b_k=\infty, e logo \lim_{k\to\infty}u_k não é zero.

Passo 3

Como o termo geral u_k não tende a zero, a série não satisfaz a condição necessária de convergência. Logo a série diverge, sem necessidade de aplicar o teste completo de Leibniz.

Resposta

A série diverge.

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