Use o teste da razão para convergência absoluta para determinar se a série converge ou diverge. Se o teste for inconclusivo, aponte isso.
\sum_{k=1}^{\infty}\left(-\frac{3}{5}\right)^{k}

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o teste da razão para convergência absoluta na série \sum_{k=1}^{\infty}\bigl(-\tfrac{3}{5}\bigr)^{k}.
Lembrando que, dado a_k, o teste da razão usa
L = \lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|.
Se L<1, a série converge absolutamente; se L>1, diverge; se L=1, o teste é inconclusivo.

Passo 2

Aqui a_k = \bigl(-\tfrac{3}{5}\bigr)^{k}, logo
\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right| = \left|\frac{\bigl(-\tfrac{3}{5}\bigr)^{k+1}}{\bigl(-\tfrac{3}{5}\bigr)^{k}}\right| = \left|-\tfrac{3}{5}\right| = \tfrac{3}{5}.
Portanto, o limite é L=\tfrac{3}{5}.

Passo 3

Como L=\tfrac{3}{5}<1, pelo teste da razão a série converge absolutamente. Logo, ela também converge de modo geral.

Resposta

A série converge absolutamente (e, portanto, converge).

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