Determine se a série alternada é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n \cos (\pi n)}{2^{n}};

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série alternada
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n\cos(\pi n)}{2^{n}}.
O conteúdo principal aqui é o Teste da Série Alternada (critérios de Leibniz) e, em seguida, o Teste da Convergência Absoluta (por exemplo, o teste da razão).

Passo 2

Reescrevemos o termo geral usando \cos(\pi n)=(-1)^n. Então a série fica
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n\cos(\pi n)}{2^{n}} =\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n\frac{n}{2^n} =\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n a_n,
onde definimos
a_n = \frac{n}{2^n}.

Passo 3

Verificamos as hipóteses do Teste de Leibniz para \sum(-1)^n a_n:
  1. a_n>0 para todo n.
  2. \lim_{n\to\infty}a_n = \lim_{n\to\infty}\tfrac{n}{2^n} = 0.
  3. A sequência \{a_n\} é monótona decrescente a partir de algum N. De fato, para n\ge1,
\frac{a_{n+1}}{a_n} =\frac{\tfrac{n+1}{2^{n+1}}}{\tfrac{n}{2^n}} =\frac{n+1}{n}\cdot\frac1{2} <1 \quad(\text{para todo }n\ge1),
logo a_{n+1}<a_n.

Passo 4

Pelas condições do Teste da Série Alternada de Leibniz, a série \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n a_n
é convergente.

Passo 5

Agora verificamos convergência absoluta, aplicando o Teste da Razão em \sum a_n:
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} =\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n}\cdot\frac1{2} =\frac12<1.
Como \sum_{n=1}^\infty a_n=\sum n/2^n converge, a série original converge absolutamente.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n\cos(\pi n)}{2^{n}} é convergente (na verdade, converge absolutamente).

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