Determine se a série alternada é convergente ou divergente.
;
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série alternada
O conteúdo principal aqui é o Teste da Série Alternada (critérios de Leibniz) e, em seguida, o Teste da Convergência Absoluta (por exemplo, o teste da razão).
Passo 2
Reescrevemos o termo geral usando
. Então a série fica
onde definimos
Passo 3
Verificamos as hipóteses do Teste de Leibniz para
:
-
para todo . -
. - A sequência
é monótona decrescente a partir de algum . De fato, para ,
logo
.
Passo 4
Pelas condições do Teste da Série Alternada de Leibniz, a série
é convergente.
é convergente.
Passo 5
Agora verificamos convergência absoluta, aplicando o Teste da Razão em
:
Como
converge, a série original converge absolutamente.
Resposta
A série
é convergente (na verdade, converge absolutamente).