Determine se a série alternada é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n} e^{1 / n};

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série alternada
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}e^{1/n}
é convergente ou divergente. Aqui o conteúdo principal é o teste da condição necessária para convergência de séries: se os termos gerais não tendem a zero, a série diverge.

Passo 2

Analisamos o termo geral da série, que em valor absoluto é
a_{n}=e^{1/n}.
Para que qualquer série (alternada ou não) possa convergir, é necessário que a_{n}\to0 quando n\to\infty.

Passo 3

Calculamos o limite de a_{n}:
\lim_{n\to\infty}e^{1/n} =e^{\lim_{n\to\infty}1/n} =e^{0} =1\neq0.
Como o termo geral não tende a zero, falha a condição necessária de convergência.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}e^{1/n} é divergente.

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