Determine se a série alternada é convergente ou divergente.
;
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série alternada
é convergente ou divergente.
O conteúdo principal aqui é o critério de Leibniz (ou teste da série alternada), que exige verificar que, para
O conteúdo principal aqui é o critério de Leibniz (ou teste da série alternada), que exige verificar que, para
tenha-se 1)
, 2)
decrescente e 3)
.
Passo 2
Verificamos que
para todo
.
Também calculamos o limite:
Também calculamos o limite:
Passo 3
Para mostrar que
é decrescente, considere a função
Temos
logo
e
é estritamente decrescente. Assim
também é decrescente.
Passo 4
Pelo critério de Leibniz, como
,
decrescente e
, a série
converge.
Passo 5
Para verificar convergência absoluta, note que
e a série harmônica diverge. Logo não há convergência absoluta.
Resposta
A série converge condicionalmente (converge pelo critério de Leibniz, mas diverge em módulo).