Determine se a série alternada é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n} \frac{e^{1 / n}}{n};

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série alternada
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{e^{1/n}}{n}
é convergente ou divergente.
O conteúdo principal aqui é o crité­rio de Leibniz (ou teste da série alternada), que exige verificar que, para
a_n = (-1)^n b_n,\quad b_n = \frac{e^{1/n}}{n},
tenha-se 1) b_n>0, 2) b_n decrescente e 3) \lim_{n\to\infty}b_n=0.

Passo 2

Verificamos que
b_n = \frac{e^{1/n}}{n}>0
para todo n.
Também calculamos o limite:
\lim_{n\to\infty}b_n = \lim_{n\to\infty}\frac{e^{1/n}}{n} = \frac{e^0}{\infty} = 0.

Passo 3

Para mostrar que b_n é decrescente, considere a função
f(x) = \frac{e^{1/x}}{x},\quad x>0.
Temos
\ln f(x) = \frac1x - \ln x \quad\Rightarrow\quad \frac{f'(x)}{f(x)} = -\frac1{x^2} - \frac1{x}<0,
logo f'(x)<0 e f é estritamente decrescente. Assim b_n=f(n) também é decrescente.

Passo 4

Pelo critério de Leibniz, como b_n>0, b_n decrescente e \lim_{n\to\infty}b_n=0, a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}b_n
converge.

Passo 5

Para verificar convergência absoluta, note que
\sum_{n=1}^{\infty}\bigl|(-1)^{n}\tfrac{e^{1/n}}{n}\bigr| =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{e^{1/n}}{n} \ge \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n},
e a série harmônica diverge. Logo não há convergência absoluta.

Resposta

A série converge condicionalmente (converge pelo critério de Leibniz, mas diverge em módulo).

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