Determine se a série alternada \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{1}{n} converge. Ela é convergente absoluta ou condicionalmente?

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}. As perguntas são: (1) a série converge? (2) se converge, é convergente absolutamente ou condicionalmente?
Informações dadas: o termo geral da série é (-1)^{n+1}\dfrac{1}{n}. Podemos identificar a sequência positiva associada aos módulos dos termos como a_n=\dfrac{1}{n}.

Passo 2

Vamos estudar as propriedades da sequência \{a_n\} definindo explicitamente a_n=\dfrac{1}{n} para n\ge 1. Primeiro, mostro que a_n é monótona decrescente: para n\ge 1,
a_{n+1}=\frac{1}{n+1}<\frac{1}{n}=a_n,
porque n<n+1 implica \dfrac{1}{n+1}<\dfrac{1}{n}. Portanto \{a_n\} é positiva e decrescente.

Passo 3

Agora mostro que \lim_{n\to\infty}a_n=0. Tomemos qualquer \varepsilon>0. Se escolhermos N\in\mathbb{N} tal que N>\dfrac{1}{\varepsilon}, então para todo n\ge N vale
a_n=\frac{1}{n}\le\frac{1}{N}<\varepsilon.
Isso demonstra que \lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}=0.

Passo 4

Aplico agora o Teste de Leibniz (teste da série alternada). Enunciado do teste (explicado): se \{a_n\} é uma sequência com a_n>0, a_{n+1}\le a_n (monótona não crescente) e \lim_{n\to\infty}a_n=0, então a série alternada
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}a_n
converge. Intuição do porquê: as somas parciais formam valores que alternam acima e abaixo de um limite comum e o tamanho do salto entre somas consecutivas é a_{n+1}, que vai a zero; formalmente, as somas parciais pares são uma sequência crescente e limitada e as ímpares são decrescentes e limitada, ambos convergentes para o mesmo limite. Além disso, o resto R_N=S-S_N satisfaz a estimativa
|R_N|\le a_{N+1},
ou seja, o erro ao truncar a série após N termos é no máximo o próximo termo.

Passo 5

Como na nossa série temos a_n=\dfrac{1}{n} que é positiva, decrescente e tende a zero (Passos 2 e 3), todas as hipóteses do Teste de Leibniz estão satisfeitas. Logo a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}
converge.

Passo 6

Agora verificamos a convergência absoluta. A série absoluta associada é
\sum_{n=1}^{\infty}\left|(-1)^{n+1}\frac{1}{n}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n},
que é a série harmônica. Vou mostrar que a série harmônica diverge por um argumento clássico de agrupamento: para k\ge 0,
\sum_{n=2^{k}}^{2^{k+1}-1}\frac{1}{n}\ge \sum_{n=2^{k}}^{2^{k+1}-1}\frac{1}{2^{k+1}}=\big(2^{k+1}-2^{k}\big)\frac{1}{2^{k+1}}=\frac{1}{2}.
Portanto, somando esses blocos para k=0,1,2,\dots,
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\ge \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2}=\infty,
ou seja, a série harmônica diverge. Assim a série dos módulos diverge e a série original não é absolutamente convergente.

Passo 7

Conclusão lógica: a série \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\dfrac{1}{n} converge (pela condição de Leibniz), mas não converge absolutamente (pois \sum 1/n diverge). Portanto a convergência é condicional. Lembrete prático para a prova: sempre verifique duas coisas para séries alternadas — (i) a_n\downarrow e (ii) a_n\to 0; se sim, converge e o erro é no máximo a_{N+1} ao truncar em N termos.

Resposta

A série converge.
A convergência é condicional (não é absolutamente convergente).

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