O enunciado pede duas coisas: (1) enunciar o Critério da razão (ou de D’Alembert) e (2) exemplificá‑lo. As informações relevantes são: queremos o enunciado do critério para séries numéricas \sum a_n (em geral com a_n\neq0) e exemplos que mostrem como aplicar o critério, inclusive casos em que ele é inconclusivo. Não começaremos a demonstrar ou aplicar ainda — só identificamos o que é pedido.
Passo 2
Enunciado formal do Critério da razão (forma usual): seja \sum a_n\) uma série de termos reais ou complexos com \(a_n\neq0\) a partir de certo índice. Defina
\[L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|
se esse limite existir. Então valem as conclusões:
\begin{cases} \text{se }L<1,\text{ a série }\sum a_n\text{ converge absolutamente;}\\[4pt] \text{se }L>1,\text{ a série }\sum a_n\text{ diverge;}\\[4pt] \text{se }L=1,\text{ o critério é inconclusivo (pode convergir ou divergir).} \end{cases}
Observação útil: quando o limite acima não existe, usa‑se a versão com \limsup\]:
\[L'=\limsup_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|.\]
Se \(L'<1 a série converge absolutamente; se L'>1 diverge; se L'=1 continua inconclusivo.]
Passo 3
Explicando por que (ideia e passo a passo da prova para L<1) — isso ajuda a saber aplicar o critério na prova:
Suponha L=\lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|<1. Então existe um número r com L<r<1.
Pelo limite, existe N tal que, para todo n\ge N,
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \le r.
Dessa desigualdade segue por indução que, para n\ge N,
|a_n| \le |a_N|\, r^{\,n-N}.
Explicando a indução: para n=N vale trivialmente; se |a_n|\le |a_N| r^{n-N} então
Assim os termos a partir de N estão limitados por uma geométrica: |a_n|\le C r^n (absorvendo r^{-N} em C). Como \sum C r^n é uma série geométrica convergente (porque 0\le r<1), pela comparação absoluta \sum |a_n| converge. Portanto \sum a_n converge absolutamente.
Passo 4
Explicando por que (caso L>1) — passo a passo:
Se L>1, então existe \varepsilon>0 tal que L-\varepsilon>1. Pelo limite, existe N com, para n\ge N,
Portanto para n\ge N temos |a_{n+1}|>|a_n|. Em particular os termos |a_n| não tendem a zero; mais forte, crescem exponencialmente a partir de certo ponto. Se os termos de uma série não tendem a zero então a série diverge. Logo \sum a_n diverge.
Passo 5
Sobre o caso L=1 (por que é inconclusivo) e dois exemplos para ilustrar:
Exemplo em que L=1 e a série converge: considere \sum \dfrac{1}{n^2}. Calcule a razão
Aqui L=1, mas sabemos por p‑series que \sum 1/n^2 converge. Logo o critério da razão não concluiu nada (limite 1), mas a série converge por outro critério.
2) Exemplo em que L=1 e a série diverge: considere \sum \dfrac{1}{n} (série harmônica). A razão é
Como L=0<1, pelo critério da razão a série converge absolutamente (de fato converge para e). Na prova, quando vê factorials, o teste da razão costuma ser o mais simples.
Passo 7
Outro exemplo prático (série com potências): série geométrica \sum_{n=0}^\infty r^n.
Aqui a_n=r^n. A razão é
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=|r|.
O limite é L=|r|. Pelo critério, se |r|<1 a série converge; se |r|>1 diverge; se |r|=1 o teste é inconclusivo (e de fato se r=1 a série diverge e se r=-1 oscila). Isso mostra que o critério retorna exatamente a condição usual para séries geométricas.
Passo 8
Dicas práticas para a prova (passo a passo de como aplicar sem erro):
Escreva a_n e calcule explicitamente \left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|. Simplifique fator a fator (fatoriais, potências, polinômios).
Calcule o limite quando n\to\infty. Se der um número L\neq1 já conclui: L<1 converge absolutamente; L>1 diverge.
Se der L=1, pare: o teste é inconclusivo — tente outro critério (comparação, integral, raiz, série p, etc.).
Lembre que o critério da razão trata de convergência absoluta; se der L<1 você já garante convergência absoluta. Se precisar apenas convergência condicional, este teste pode ser usado apenas para concluir absoluta quando L<1.
Quando ver factorials e potências combinadas, o teste da razão geralmente é o caminho mais curto.
existe então: se L<1 a série converge absolutamente; se L>1 a série diverge; se L=1 o critério é inconclusivo. (Versão com \limsup funciona da mesma forma quando o limite não existe.)