Enuncie e exemplifique os seguintes critérios:
  • Critério da razão (ou de D’Alembert)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) enunciar o Critério da razão (ou de D’Alembert) e (2) exemplificá‑lo. As informações relevantes são: queremos o enunciado do critério para séries numéricas \sum a_n (em geral com a_n\neq0) e exemplos que mostrem como aplicar o critério, inclusive casos em que ele é inconclusivo. Não começaremos a demonstrar ou aplicar ainda — só identificamos o que é pedido.

Passo 2

Enunciado formal do Critério da razão (forma usual): seja \sum a_n\) uma série de termos reais ou complexos com \(a_n\neq0\) a partir de certo índice. Defina \[L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|
se esse limite existir. Então valem as conclusões:
\begin{cases} \text{se }L<1,\text{ a série }\sum a_n\text{ converge absolutamente;}\\[4pt] \text{se }L>1,\text{ a série }\sum a_n\text{ diverge;}\\[4pt] \text{se }L=1,\text{ o critério é inconclusivo (pode convergir ou divergir).} \end{cases}éééé
Observação útil: quando o limite acima não existe, usa‑se a versão com \limsup\]: \[L'=\limsup_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|.\] Se \(L'<1 a série converge absolutamente; se L'>1 diverge; se L'=1 continua inconclusivo.]

Passo 3

Explicando por que (ideia e passo a passo da prova para L<1) — isso ajuda a saber aplicar o critério na prova:
  1. Suponha L=\lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|<1. Então existe um número r com L<r<1.
  2. Pelo limite, existe N tal que, para todo n\ge N,
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \le r.
  1. Dessa desigualdade segue por indução que, para n\ge N,
|a_n| \le |a_N|\, r^{\,n-N}.
Explicando a indução: para n=N vale trivialmente; se |a_n|\le |a_N| r^{n-N} então
|a_{n+1}| = \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\,|a_n| \le r\cdot |a_N| r^{n-N}=|a_N| r^{(n+1)-N}.
  1. Assim os termos a partir de N estão limitados por uma geométrica: |a_n|\le C r^n (absorvendo r^{-N} em C). Como \sum C r^n é uma série geométrica convergente (porque 0\le r<1), pela comparação absoluta \sum |a_n| converge. Portanto \sum a_n converge absolutamente.

Passo 4

Explicando por que (caso L>1) — passo a passo:
  1. Se L>1, então existe \varepsilon>0 tal que L-\varepsilon>1. Pelo limite, existe N com, para n\ge N,
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \ge L-\varepsilon >1.
  1. Portanto para n\ge N temos |a_{n+1}|>|a_n|. Em particular os termos |a_n| não tendem a zero; mais forte, crescem exponencialmente a partir de certo ponto. Se os termos de uma série não tendem a zero então a série diverge. Logo \sum a_n diverge.

Passo 5

Sobre o caso L=1 (por que é inconclusivo) e dois exemplos para ilustrar:
  1. Exemplo em que L=1 e a série converge: considere \sum \dfrac{1}{n^2}. Calcule a razão
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{1/(n+1)^2}{1/n^2}=\left(\frac{n}{n+1}\right)^2\longrightarrow 1.
Aqui L=1, mas sabemos por p‑series que \sum 1/n^2 converge. Logo o critério da razão não concluiu nada (limite 1), mas a série converge por outro critério.
2) Exemplo em que L=1 e a série diverge: considere \sum \dfrac{1}{n} (série harmônica). A razão é
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{1/(n+1)}{1/n}=\frac{n}{n+1}\longrightarrow 1.
Aqui também L=1, mas \sum 1/n diverge. Portanto L=1 é mesmo um caso em que o critério não decide.

Passo 6

Exemplo prático detalhado (bom para prova): \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{n!}.
  1. Calcule a razão:
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{1/(n+1)!}{1/n!}=\frac{1}{n+1}.
  1. Toma o limite:
L=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}=0.
  1. Como L=0<1, pelo critério da razão a série converge absolutamente (de fato converge para e). Na prova, quando vê factorials, o teste da razão costuma ser o mais simples.

Passo 7

Outro exemplo prático (série com potências): série geométrica \sum_{n=0}^\infty r^n.
  1. Aqui a_n=r^n. A razão é
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=|r|.
  1. O limite é L=|r|. Pelo critério, se |r|<1 a série converge; se |r|>1 diverge; se |r|=1 o teste é inconclusivo (e de fato se r=1 a série diverge e se r=-1 oscila). Isso mostra que o critério retorna exatamente a condição usual para séries geométricas.

Passo 8

Dicas práticas para a prova (passo a passo de como aplicar sem erro):
  1. Escreva a_n e calcule explicitamente \left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|. Simplifique fator a fator (fatoriais, potências, polinômios).
  2. Calcule o limite quando n\to\infty. Se der um número L\neq1 já conclui: L<1 converge absolutamente; L>1 diverge.
  3. Se der L=1, pare: o teste é inconclusivo — tente outro critério (comparação, integral, raiz, série p, etc.).
  4. Lembre que o critério da razão trata de convergência absoluta; se der L<1 você já garante convergência absoluta. Se precisar apenas convergência condicional, este teste pode ser usado apenas para concluir absoluta quando L<1.
  5. Quando ver factorials e potências combinadas, o teste da razão geralmente é o caminho mais curto.

Resposta

Enunciado: Seja \sum a_n com a_n\neq0. Se
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|
existe então: se L<1 a série converge absolutamente; se L>1 a série diverge; se L=1 o critério é inconclusivo. (Versão com \limsup funciona da mesma forma quando o limite não existe.)
Exemplos:
  1. \sum_{n=0}^\infty \dfrac{1}{n!}: razão \dfrac{1}{n+1}\to0\Rightarrow converge absolutamente.
  2. \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n}: razão \dfrac{n}{n+1}\to1\Rightarrow critério inconclusivo (a série diverge por outro argumento).
  3. \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^2}: razão \left(\dfrac{n}{n+1}\right)^2\to1\Rightarrow critério inconclusivo (a série, porém, converge).

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