Enuncie e exemplifique os seguintes critérios:
- Critério do termo geral
Passo 1
O enunciado pede que eu enuncie (declare formalmente) e exemplifique o “Critério do termo geral”.
Informações relevantes que o enunciado dá (ou pressupõe):
Informações relevantes que o enunciado dá (ou pressupõe):
- Queremos um enunciado claro do critério (o que ele afirma).
- Queremos exemplos que ilustrem quando o critério serve e quando não é suficiente.
- Não há outros dados numéricos; a tarefa é teórica e ilustrativa.
Passo 2
Primeiro, vamos definir com calma os objetos que aparecem quando falamos de séries, porque essas definições são essenciais para entender o critério.
Definição de série e somas parciais: seja uma sequência de números
. A série associada é
As somas parciais são definidas por
Dizemos que a série
converge se a sequência de somas parciais
tem limite finito, isto é, existe
tal que
Se isso acontecer, escrevemos
. Se
não tiver limite finito, dizemos que a série diverge.
Passo 3
Agora enuncio o Critério do termo geral de forma formal e direta:
Enunciado do critério:
Observação importante (frequentemente confundida): o critério é uma condição necessária, mas não é suficiente. Ou seja, se
(ou o limite não existe), então a série diverge. Por outro lado,
não garante que a série converge — pode convergir ou divergir; outros testes são necessários nesse caso.
Passo 4
Prova elementar do critério (passo a passo, bem mastigado):
Suponha que
converge e que
. Observe que, para
,
Como
e
(deslocamento de índice não altera o limite), pela propriedade de limites da diferença temos
Isso demonstra rigorosamente que a existência da soma finita implica
. Fim da prova.
Passo 5
Consequência prática (teste rápido de divergência):
- Se
ou o limite não existe, então a série diverge.
Como dica de prova-exame: antes de aplicar testes complicados, calcule. Se não for , já posso afirmar “diverge” imediatamente.
Exemplos simples que ilustram essa consequência:
- Se
para todo , então . Logo diverge (é óbvio: somas parciais crescem sem limite). - Se
, o limite não existe (oscila entre e ). Portanto diverge.
Passo 6
Exemplo que mostra que o critério não é suficiente: a série cuja termo geral vai a zero pode ainda divergir.
Exemplo clássico — série harmônica:
Aqui
, mas a série diverge. Vou mostrar um argumento simples e elementar (agrupamento):
Escrevemos as somas parciais em blocos:
No
-ésimo bloco (após o primeiro), há
termos, todos maiores ou iguais a
. Assim cada bloco a partir do terceiro tem soma maior ou igual a
. Portanto as somas parciais aumentam sem limite (a cada dois blocos adicionamos pelo menos
), logo a série diverge. Isso mostra concretamente que termos tendendo a zero não bastam para a convergência.
Passo 7
Exemplo que mostra o caso em que o teste do termo geral é inconclusivo, mas outro teste resolve — série geométrica:
Considere a série geométrica
- Se
, então e além disso a série converge com soma
- Se
, então não é (ou não existe), e a série diverge por critério do termo geral.
Aqui o exemplo mostra duas coisas: quando
usamos o critério para concluir divergência; quando
(caso
) isso não apenas é necessário, mas combinado com a fórmula fechada nos dá a convergência.
Passo 8
Outro exemplo útil para a prova (contraste):
Série alternada convergente condicional:
Neste caso
e a série converge (pelo critério de Leibniz / teste das séries alternadas, que exige termos decrescentes em módulo e limite zero). Isso demonstra que ter termo geral tendendo a zero pode levar tanto a convergência quanto à divergência — depende do padrão de sinais e da velocidade de decaimento.
Passo 9
Resumo prático para prova — o que fazer na hora:
- Calcule
. - Se o limite é diferente de
ou não existe → conclua imediatamente: a série diverge. - Se o limite é
→ o critério não resolve; aplique outros testes (comparação, razão, raiz, integral, Leibniz, condensação de Cauchy etc.), dependendo da forma de .
- Se o limite é diferente de
- Lembre-se: “termo geral vai a zero” é necessário, não suficiente.
Força aí — é um teste rápido e muito útil no exame para eliminar respostas: sempre verifique o limite do termo geral antes de partir para testes mais longos!
Resposta
Se a série
converge então
. Exemplo de aplicação (divergência imediata):
dá
, logo
diverge. Contraexemplo que mostra insuficiência: a série harmônica
tem
mas diverge. Exemplo de caso convergente com termo a zero: a série geométrica
converge para
se
(aqui
).