Enuncie e exemplifique os seguintes critérios:
  • Critério do termo geral

Passo 1

O enunciado pede que eu enuncie (declare formalmente) e exemplifique o “Critério do termo geral”.
Informações relevantes que o enunciado dá (ou pressupõe):
  • Queremos um enunciado claro do critério (o que ele afirma).
  • Queremos exemplos que ilustrem quando o critério serve e quando não é suficiente.
  • Não há outros dados numéricos; a tarefa é teórica e ilustrativa.

Passo 2

Primeiro, vamos definir com calma os objetos que aparecem quando falamos de séries, porque essas definições são essenciais para entender o critério.
Definição de série e somas parciais: seja uma sequência de números \{a_n\}_{n=1}^{\infty}. A série associada é
\sum_{n=1}^{\infty} a_n.
As somas parciais são definidas por
s_N=\sum_{n=1}^{N} a_n.
Dizemos que a série \sum_{n=1}^{\infty} a_n converge se a sequência de somas parciais \{s_N\} tem limite finito, isto é, existe S\in\mathbb{R} tal que
\lim_{N\to\infty} s_N = S.
Se isso acontecer, escrevemos \sum_{n=1}^{\infty} a_n = S. Se \{s_N\} não tiver limite finito, dizemos que a série diverge.

Passo 3

Agora enuncio o Critério do termo geral de forma formal e direta:
Enunciado do critério:
\text{Se a série } \sum_{n=1}^{\infty} a_n \text{ converge, então } \lim_{n\to\infty} a_n = 0.éã
Observação importante (frequentemente confundida): o critério é uma condição necessária, mas não é suficiente. Ou seja, se \lim_{n\to\infty} a_n \neq 0 (ou o limite não existe), então a série diverge. Por outro lado, \lim_{n\to\infty} a_n = 0 não garante que a série converge — pode convergir ou divergir; outros testes são necessários nesse caso.

Passo 4

Prova elementar do critério (passo a passo, bem mastigado):
Suponha que \sum_{n=1}^{\infty} a_n converge e que \lim_{N\to\infty} s_N = S. Observe que, para n\ge 2,
a_n = s_n - s_{n-1}.
Como \lim_{n\to\infty} s_n = S e \lim_{n\to\infty} s_{n-1} = S (deslocamento de índice não altera o limite), pela propriedade de limites da diferença temos
\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} (s_n - s_{n-1}) = S - S = 0.
Isso demonstra rigorosamente que a existência da soma finita implica \lim_{n\to\infty} a_n = 0. Fim da prova.

Passo 5

Consequência prática (teste rápido de divergência):
  • Se \lim_{n\to\infty} a_n \neq 0 ou o limite não existe, então a série \sum_{n=1}^{\infty} a_n diverge.
    Como dica de prova-exame: antes de aplicar testes complicados, calcule \lim_{n\to\infty} a_n. Se não for 0, já posso afirmar “diverge” imediatamente.
Exemplos simples que ilustram essa consequência:
  • Se a_n = 1 para todo n, então \lim_{n\to\infty} a_n = 1 \neq 0. Logo \sum_{n=1}^{\infty} 1 diverge (é óbvio: somas parciais crescem sem limite).
  • Se a_n = (-1)^n, o limite \lim_{n\to\infty} a_n não existe (oscila entre -1 e 1). Portanto \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n diverge.

Passo 6

Exemplo que mostra que o critério não é suficiente: a série cuja termo geral vai a zero pode ainda divergir.
Exemplo clássico — série harmônica:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}.
Aqui \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 0, mas a série diverge. Vou mostrar um argumento simples e elementar (agrupamento):
Escrevemos as somas parciais em blocos:
1 + \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\right) + \cdots
No k-ésimo bloco (após o primeiro), há 2^{k-1} termos, todos maiores ou iguais a \dfrac{1}{2^k}. Assim cada bloco a partir do terceiro tem soma maior ou igual a \dfrac{1}{2}. Portanto as somas parciais aumentam sem limite (a cada dois blocos adicionamos pelo menos \tfrac{1}{2}), logo a série diverge. Isso mostra concretamente que termos tendendo a zero não bastam para a convergência.

Passo 7

Exemplo que mostra o caso em que o teste do termo geral é inconclusivo, mas outro teste resolve — série geométrica:
Considere a série geométrica
\sum_{n=0}^{\infty} r^n.
  • Se |r|<1, então \lim_{n\to\infty} r^n = 0 e além disso a série converge com soma
\sum_{n=0}^{\infty} r^n = \frac{1}{1-r}.
  • Se |r|\ge 1, então \lim_{n\to\infty} r^n não é 0 (ou não existe), e a série diverge por critério do termo geral.
Aqui o exemplo mostra duas coisas: quando \lim a_n \neq 0 usamos o critério para concluir divergência; quando \lim a_n = 0 (caso |r|<1) isso não apenas é necessário, mas combinado com a fórmula fechada nos dá a convergência.

Passo 8

Outro exemplo útil para a prova (contraste):
Série alternada convergente condicional:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}.
Neste caso \lim_{n\to\infty} \dfrac{(-1)^{n+1}}{n} = 0 e a série converge (pelo critério de Leibniz / teste das séries alternadas, que exige termos decrescentes em módulo e limite zero). Isso demonstra que ter termo geral tendendo a zero pode levar tanto a convergência quanto à divergência — depende do padrão de sinais e da velocidade de decaimento.

Passo 9

Resumo prático para prova — o que fazer na hora:
  1. Calcule \lim_{n\to\infty} a_n.
    • Se o limite é diferente de 0 ou não existe → conclua imediatamente: a série diverge.
    • Se o limite é 0 → o critério não resolve; aplique outros testes (comparação, razão, raiz, integral, Leibniz, condensação de Cauchy etc.), dependendo da forma de a_n.
  2. Lembre-se: “termo geral vai a zero” é necessário, não suficiente.
Força aí — é um teste rápido e muito útil no exame para eliminar respostas: sempre verifique o limite do termo geral antes de partir para testes mais longos!

Resposta

Se a série \sum_{n=1}^{\infty} a_n converge então \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = 0. Exemplo de aplicação (divergência imediata): a_n=1 \lim a_n=1\neq0, logo \sum 1 diverge. Contraexemplo que mostra insuficiência: a série harmônica \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n} tem a_n\to0 mas diverge. Exemplo de caso convergente com termo a zero: a série geométrica \sum_{n=0}^{\infty} r^n converge para \dfrac{1}{1-r} se |r|<1 (aqui r^n\to0).

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