Determine se a série converge ou diverge. Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado nos dá a série numérica
e pede para determinar se ela converge ou diverge, com justificativa. Informação relevante fornecida:
- Os termos gerais são positivos para todo
: . - Não há mais dados; decidir a convergência absoluta/condicional e, se possível, o valor da soma.
Passo 2
Estratégia básica (explicando a ferramenta que vou usar): teste de comparação para séries de termos não negativos.
Teorema do teste de comparação (forma simples):
sejam e
sequências com
para todo
suficientemente grande. Se
converge então
também converge.
Aqui . Vou comparar com uma série geométrica conhecida, porque séries geométricas são muito fáceis de analisar.
sejam
Aqui
Lembrete sobre série geométrica:
para com
,
para
logo converge.
Passo 3
Aplicando a comparação: para todo
vale
. Assim
A série
é uma série geométrica com razão
(e
), portanto converge. Pelo teste de comparação, como
com
e
converge, segue que
também converge. Essa é uma justificativa simples e direta.
Passo 4
Comentário adicional (teste da razão, alternativa): pode-se também aplicar o teste da razão para confirmar. Seja
. Então
Tomando o limite quando
,
Pelo teste da razão (se o limite da razão é
, a série de termos positivos converge), obtemos novamente a convergência.
Passo 5
Bônus — valor da soma (útil para decorar e entender melhor): existe uma identidade de séries de potências válida para
:
Tomando
(que satisfaz
), obtemos
Assim além de convergir, a série converge para
.
Resposta
A série converge (os termos são positivos e por comparação com a série geométrica
ou pelo teste da razão). Soma =
.