Determine se a série converge ou diverge. Justifique sua resposta.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n 3^{n}}

Passo 1

O enunciado nos dá a série numérica
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n\,3^{n}}
e pede para determinar se ela converge ou diverge, com justificativa. Informação relevante fornecida:
  • Os termos gerais são positivos para todo n\ge1: \dfrac{1}{n\,3^{n}}>0.
  • Não há mais dados; decidir a convergência absoluta/condicional e, se possível, o valor da soma.

Passo 2

Estratégia básica (explicando a ferramenta que vou usar): teste de comparação para séries de termos não negativos.
Teorema do teste de comparação (forma simples):
sejam (a_n) e (b_n) sequências com 0\le a_n\le b_n para todo n suficientemente grande. Se \sum b_n converge então \sum a_n também converge.
Aqui a_n=\dfrac{1}{n\,3^{n}}. Vou comparar com uma série geométrica conhecida, porque séries geométricas são muito fáceis de analisar.
Lembrete sobre série geométrica:
para r\in\mathbb{R} com |r|<1,
\sum_{n=1}^{\infty} r^{n}=\frac{r}{1-r},
logo converge.

Passo 3

Aplicando a comparação: para todo n\ge1 vale \dfrac{1}{n}\le 1. Assim
0\le \frac{1}{n\,3^{n}} \le \frac{1}{3^{n}}.
A série \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{3^{n}} é uma série geométrica com razão r=\dfrac{1}{3} (e |r|<1), portanto converge. Pelo teste de comparação, como 0\le a_n\le b_n com b_n=\dfrac{1}{3^n} e \sum b_n converge, segue que \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n\,3^{n}} também converge. Essa é uma justificativa simples e direta.

Passo 4

Comentário adicional (teste da razão, alternativa): pode-se também aplicar o teste da razão para confirmar. Seja a_n=\dfrac{1}{n\,3^{n}}. Então
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\dfrac{1}{(n+1)3^{n+1}}}{\dfrac{1}{n3^{n}}}=\frac{n}{n+1}\cdot\frac{1}{3}.
Tomando o limite quando n\to\infty,
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1}{3}<1.
Pelo teste da razão (se o limite da razão é <1, a série de termos positivos converge), obtemos novamente a convergência.

Passo 5

Bônus — valor da soma (útil para decorar e entender melhor): existe uma identidade de séries de potências válida para |x|<1:
-\ln(1-x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n}.
Tomando x=\dfrac{1}{3} (que satisfaz |x|<1), obtemos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\,3^{n}}=-\ln\!\bigl(1-\tfrac{1}{3}\bigr)=-\ln\!\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)=\ln\!\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr).
Assim além de convergir, a série converge para \ln\!\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr).

Resposta

A série converge (os termos são positivos e por comparação com a série geométrica \sum \dfrac{1}{3^{n}} ou pelo teste da razão). Soma = \ln\!\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr).

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