\underline{\mathbf{3}^{2}}, Questão(valor ^{=\mathbf{3 0}} )

Esboce a região e calcule a integral \iint_{R}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{1 / 2} y d A, em que R é a região, no 1^{\circ} quadrante, delimitada pela curva polar r=2(1-\cos (\theta)).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: esboçar a região e calcular a integral
\iint_{R}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{1/2} y\, dA,
onde R é a região no 1^{\circ} quadrante delimitada pela curva polar r=2(1-\cos(\theta)).
Informações dadas:
  • A curva que limita R é r=2(1-\cos(\theta)).
  • A região está no 1^{\circ} quadrante, portanto \theta varia entre 0 e \tfrac{\pi}{2}.
  • O que se deve calcular é a integral dupla sobre R da função \left(x^{2}+y^{2}\right)^{1/2} y.

Passo 2

Vamos descrever (esboçar mentalmente) a região R.
Pontos importantes da curva (pegos da expressão r=2(1-\cos(\theta))):
  • Para \theta=0: r=2(1-\cos 0)=2(1-1)=0. A curva passa pela origem.
  • Para \theta=\tfrac{\pi}{2}: r=2(1-\cos\tfrac{\pi}{2})=2(1-0)=2. No semieixo positivo y (porque \theta=\tfrac{\pi}{2}), a curva está em r=2.
  • Como \cos(\theta) para 0\le\theta\le\tfrac{\pi}{2} varia de 1 a 0, temos r variando de 0 a 2. Logo a curva gera uma “folha” que parte da origem e se estende até r=2 em \theta=\tfrac{\pi}{2}. Esse é o contorno de R no primeiro quadrante.
Esse é o esboço pedido: a região é o conjunto dos pontos com 0\le\theta\le\tfrac{\pi}{2} e 0\le r\le 2(1-\cos\theta).

Passo 3

Escolha do sistema e fórmulas básicas (aula rápida sobre coordenadas polares).
Motivo: a equação da fronteira está dada em coordenadas polares; além disso a função \left(x^{2}+y^{2}\right)^{1/2} é simplesmente o raio polar. Portanto é natural usar coordenadas polares (r,\theta).
Fórmulas de conversão (explicando cada símbolo):
  • \;x=r\cos(\theta), onde x é a coordenada Cartesian ax horizontal e r é a distância ao origem.
  • \;y=r\sin(\theta), onde y é a coordenada Cartesian ax vertical.
  • A distância ao origem \sqrt{x^{2}+y^{2}} em polares é simplesmente \;r.
  • O elemento de área infinitesimal em polares é \;dA = r\, dr\, d\theta. Intuição: um pequeno retângulo polar tem lados aproximadamente dr e r\,d\theta, então a área é dr\cdot(r\,d\theta)=r\,dr\,d\theta. Em forma de jacobiano, pode-se calcular a matriz das derivadas parciais e verificar que \left|\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)}\right|=r.

Passo 4

Converter a integranda e montar a integral em polares, passo a passo.
A integranda original é \left(x^{2}+y^{2}\right)^{1/2} y. Em polares:
  • \left(x^{2}+y^{2}\right)^{1/2} = r.
  • y = r\sin(\theta).
  • dA = r\, dr\, d\theta.
Multiplicando tudo:
\left(x^{2}+y^{2}\right)^{1/2} y\, dA = r \cdot (r\sin(\theta))\cdot (r\, dr\, d\theta) = r^{3}\sin(\theta)\, dr\, d\theta.
Os limites: como a região está no 1^{\circ} quadrante, \theta varia de 0 a \tfrac{\pi}{2}. Para cada \theta fixo, r vai de 0 até a curva r=2(1-\cos(\theta)). Logo a integral é
\iint_{R}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{1/2} y\, dA = \int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\int_{0}^{2(1-\cos(\theta))} r^{3}\sin(\theta)\, dr\, d\theta.

Passo 5

Calcular a integral interna em r.
Calcule
\int_{0}^{2(1-\cos(\theta))} r^{3}\, dr.
A primitiva de r^{3} é \dfrac{r^{4}}{4}. Avaliando entre os limites:
\int_{0}^{2(1-\cos(\theta))} r^{3}\, dr = \left.\dfrac{r^{4}}{4}\right|_{0}^{2(1-\cos(\theta))} = \dfrac{\bigl(2(1-\cos(\theta))\bigr)^{4}}{4}.
Simplificando o fator:
\bigl(2(1-\cos(\theta))\bigr)^{4} = 2^{4}(1-\cos(\theta))^{4} = 16(1-\cos(\theta))^{4},
portanto
\int_{0}^{2(1-\cos(\theta))} r^{3}\, dr = \dfrac{16(1-\cos(\theta))^{4}}{4} = 4(1-\cos(\theta))^{4}.
Assim a integral dupla reduz a uma integral em \theta:
\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} \sin(\theta)\cdot 4(1-\cos(\theta))^{4}\, d\theta = 4\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} (1-\cos(\theta))^{4}\sin(\theta)\, d\theta.

Passo 6

Resolver a integral em \theta por substituição (aula sobre substituição).
Observação: a presença de \sin(\theta)\, d\theta junto com 1-\cos(\theta) sugere a substituição
u = 1-\cos(\theta).
Calcule du:
du = \sin(\theta)\, d\theta.
Quando \theta=0, tem-se u=1-\cos(0)=0. Quando \theta=\tfrac{\pi}{2}, tem-se u=1-\cos(\tfrac{\pi}{2})=1.
Substituindo na integral:
4\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} (1-\cos(\theta))^{4}\sin(\theta)\, d\theta = 4\int_{u=0}^{u=1} u^{4}\, du.
Calcule a integral em u:
\int_{0}^{1} u^{4}\, du = \left.\dfrac{u^{5}}{5}\right|_{0}^{1} = \dfrac{1}{5}.
Multiplicando pelo fator 4:
4\cdot \dfrac{1}{5} = \dfrac{4}{5}.

Passo 7

Conclusão e checagem rápida.
O valor final da integral é \dfrac{4}{5}. Faz sentido que o valor seja positivo, porque no primeiro quadrante y\ge 0 e r\ge 0 então a integranda é não-negativa. A técnica principal foi passar para polares, usar o jacobiano r e fazer uma substituição simples.

Resposta

\dfrac{4}{5}

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