A função integranda é \dfrac{x^{2}+y^{2}}{e^{x^{2}+y^{2}}}.
As perguntas são:
Esboçar a região de integração (qual é a forma geométrica no plano xy?).
Calcular o valor numérico da integral dupla.
Passo 2
Entender a região antes de integrar:
A curva y=\sqrt{1-x^{2}} é a semicircunferência superior do círculo de raio 1 centrado na origem, porque ela vem de x^{2}+y^{2}=1 com y\ge0.
Com x variando de 0 a 1 e y de 0 até essa semicircunferência, a região é o quarto de disco (quadrante primeiro) de raio 1: ou seja, o conjunto \{(x,y)\mid x\ge0,\\ y\ge0,\\ x^{2}+y^{2}\le1\}.
Portanto, um esboço é o setor circular com raio 1 entre os ângulos 0 e \tfrac{\pi}{2}.
Passo 3
Escolha do método de integração:
Observando que a integranda depende apenas de x^{2}+y^{2} e que a região é circular (parte de disco), a troca para coordenadas polares torna o cálculo muito mais simples.
Em coordenadas polares usa-se as relações
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
e o elemento de área é
dA = dx\,dy = r\,dr\,d\theta,
onde r\ge0 é a distância ao origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x.
Passo 4
Reescrever a integranda e o diferencial em polares:
Note que
x^{2}+y^{2} = r^{2}.
A função \dfrac{x^{2}+y^{2}}{e^{x^{2}+y^{2}}} em polares fica
\frac{r^{2}}{e^{r^{2}}}=r^{2}e^{-r^{2}}.
Multiplicando pelo jacobiano r do elemento de área, o integrando total (em dr\,d\theta) é
r^{2}e^{-r^{2}}\cdot r = r^{3}e^{-r^{2}}.
Passo 5
Determinar os limites em coordenadas polares:
Como a região é o quarto de disco de raio 1 no primeiro quadrante, tem-se