\underline{4^{\circ}} Questão(valor =30 )

Esboce a região e calcule a integral \int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}} \frac{\left(x^{2}+y^{2}\right)}{e^{x^{2}+y^{2}}} d y d x.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região de integração e calcular a integral dupla
\int_{0}^{1}\int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}}\frac{\left(x^{2}+y^{2}\right)}{e^{x^{2}+y^{2}}}\,dy\,dx.
Informações fornecidas:
  • Os limites externos são x de 0 a 1.
  • Para cada x, y varia de 0 até \sqrt{1-x^{2}}.
  • A função integranda é \dfrac{x^{2}+y^{2}}{e^{x^{2}+y^{2}}}.
As perguntas são:
  • Esboçar a região de integração (qual é a forma geométrica no plano xy?).
  • Calcular o valor numérico da integral dupla.

Passo 2

Entender a região antes de integrar:
  • A curva y=\sqrt{1-x^{2}} é a semicircunferência superior do círculo de raio 1 centrado na origem, porque ela vem de x^{2}+y^{2}=1 com y\ge0.
  • Com x variando de 0 a 1 e y de 0 até essa semicircunferência, a região é o quarto de disco (quadrante primeiro) de raio 1: ou seja, o conjunto \{(x,y)\mid x\ge0,\\ y\ge0,\\ x^{2}+y^{2}\le1\}.
  • Portanto, um esboço é o setor circular com raio 1 entre os ângulos 0 e \tfrac{\pi}{2}.

Passo 3

Escolha do método de integração:
  • Observando que a integranda depende apenas de x^{2}+y^{2} e que a região é circular (parte de disco), a troca para coordenadas polares torna o cálculo muito mais simples.
  • Em coordenadas polares usa-se as relações
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
e o elemento de área é
dA = dx\,dy = r\,dr\,d\theta,
onde r\ge0 é a distância ao origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x.

Passo 4

Reescrever a integranda e o diferencial em polares:
  • Note que
x^{2}+y^{2} = r^{2}.
  • A função \dfrac{x^{2}+y^{2}}{e^{x^{2}+y^{2}}} em polares fica
\frac{r^{2}}{e^{r^{2}}}=r^{2}e^{-r^{2}}.
  • Multiplicando pelo jacobiano r do elemento de área, o integrando total (em dr\,d\theta) é
r^{2}e^{-r^{2}}\cdot r = r^{3}e^{-r^{2}}.

Passo 5

Determinar os limites em coordenadas polares:
  • Como a região é o quarto de disco de raio 1 no primeiro quadrante, tem-se
0\le r\le 1,\qquad 0\le \theta\le \frac{\pi}{2}.
  • Assim a integral dupla se transforma em
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{1} r^{3}e^{-r^{2}}\,dr\,d\theta.

Passo 6

Separar a integral angular da radial:
  • A integranda separa em função de r só, logo
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{1} r^{3}e^{-r^{2}}\,dr\,d\theta = \left(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} d\theta\right)\left(\int_{0}^{1} r^{3}e^{-r^{2}}\,dr\right).
  • O fator angular é imediato:
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} d\theta = \frac{\pi}{2}.

Passo 7

Calcular a integral radial \displaystyle \int_{0}^{1} r^{3}e^{-r^{2}}\,dr:
  • Use a substituição \displaystyle u=r^{2}. Então \displaystyle du=2r\,dr, ou seja \displaystyle r\,dr=\frac{1}{2}\,du.
  • Escrevendo r^{3}dr = r^{2}\cdot r\,dr = u\cdot\frac{1}{2}\,du.
  • Os limites mudam: quando r=0 tem u=0; quando r=1 tem u=1.
  • Logo
\int_{0}^{1} r^{3}e^{-r^{2}}\,dr = \frac{1}{2}\int_{0}^{1} u e^{-u}\,du.
  • Agora calcule \displaystyle \int_{0}^{1} u e^{-u}\,du por partes. Tome a=u e dv=e^{-u}du. Então da=du e v=-e^{-u}.
  • Aplicando a fórmula de integração por partes \displaystyle \int a\,dv = a v - \int v\,da:
\int u e^{-u}\,du = -u e^{-u} - \int(-e^{-u})\,du = -u e^{-u} - e^{-u} + C = -(u+1)e^{-u}+C.
  • Avaliando de 0 a 1:
\int_{0}^{1} u e^{-u}\,du = \big[-(u+1)e^{-u}\big]_{0}^{1} = -(2)e^{-1} - \big[-(1)e^{0}\big] = -\frac{2}{e} + 1 = 1 - \frac{2}{e}.
  • Portanto
\int_{0}^{1} r^{3}e^{-r^{2}}\,dr = \frac{1}{2}\left(1 - \frac{2}{e}\right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{e}.

Passo 8

Combinar com o fator angular para obter a resposta final:
  • Multiplicando pelo fator angular \dfrac{\pi}{2},
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} d\theta \cdot \int_{0}^{1} r^{3}e^{-r^{2}}\,dr = \frac{\pi}{2}\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{e}\right) = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{2e}.

Resposta

\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\pi}{2e}

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