Determine se a série converge ou diverge. Justifique sua resposta.
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} e^{\frac{2}{n}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} e^{\frac{2}{n}}
converge ou diverge. Informação dada: o termo geral é \;(-1)^{n-1} e^{\frac{2}{n}}\; para n=1,2,\dots. A questão exige justificativa.

Passo 2

Vamos olhar para o termo geral da série. Definimos
a_n = (-1)^{n-1} e^{\frac{2}{n}}.
Um teste fundamental que devemos sempre lembrar é o teste da existência do termo geral (às vezes chamado de “teste do termo geral” ou “necessary condition”): se a série \sum a_n converge então o termo a_n deve tender a zero, isto é,
\lim_{n\to\infty} a_n = 0.
Se esse limite não for zero (ou não existir), a série diverge. Esse teste é necessário, não suficiente: se o limite é zero a série pode convergir ou divergir; mas se não é zero, temos certeza de que diverge.

Passo 3

Calculemos o limite do fator exponencial. Primeiro
\lim_{n\to\infty} \frac{2}{n} = 0.
A função exponencial é contínua, logo
\lim_{n\to\infty} e^{\frac{2}{n}} = e^{0} = 1.

Passo 4

Agora analisemos o comportamento de a_n. Usando o resultado anterior,
a_n = (-1)^{n-1} e^{\frac{2}{n}} \quad\Rightarrow\quad \lim_{n\to\infty} |a_n| = \lim_{n\to\infty} e^{\frac{2}{n}} = 1.
Mais explicitamente, as subsequências par e ímpar tendem a valores diferentes:
\lim_{k\to\infty} a_{2k-1} = \lim_{k\to\infty} (+1)\,e^{\frac{2}{2k-1}} = 1,
\lim_{k\to\infty} a_{2k} = \lim_{k\to\infty} (-1)\,e^{\frac{2}{2k}} = -1.
Portanto \lim_{n\to\infty} a_n não existe e, em particular, não é zero.

Passo 5

Aplicando o teste do termo geral: como \lim_{n\to\infty} a_n não é 0 (as vimos, as subsequências tendem a 1 e -1), concluímos que a série não pode convergir. (Também dá para ver intuitivamente: os termos não diminuem para zero, então os somatórios parciais continuam a oscilar sem se estabilizar.)

Resposta

A série diverge.

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