Determine se a série converge ou diverge. Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge. Informação dada: o termo geral é
para
. A questão exige justificativa.
Passo 2
Vamos olhar para o termo geral da série. Definimos
Um teste fundamental que devemos sempre lembrar é o teste da existência do termo geral (às vezes chamado de “teste do termo geral” ou “necessary condition”): se a série
converge então o termo
deve tender a zero, isto é,
Se esse limite não for zero (ou não existir), a série diverge. Esse teste é necessário, não suficiente: se o limite é zero a série pode convergir ou divergir; mas se não é zero, temos certeza de que diverge.
Passo 3
Calculemos o limite do fator exponencial. Primeiro
A função exponencial é contínua, logo
Passo 4
Agora analisemos o comportamento de
. Usando o resultado anterior,
Mais explicitamente, as subsequências par e ímpar tendem a valores diferentes:
Portanto
não existe e, em particular, não é zero.
Passo 5
Aplicando o teste do termo geral: como
não é
(as vimos, as subsequências tendem a
e
), concluímos que a série não pode convergir. (Também dá para ver intuitivamente: os termos não diminuem para zero, então os somatórios parciais continuam a oscilar sem se estabilizar.)
Resposta
A série diverge.