Determinar as raízes das Equações abaixo, com
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar as raízes da equação
com precisão
.
Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - A notação
significa . - O objetivo é encontrar valores de
tais que com erro absoluto menor ou igual a . - Atenção: o termo
(base e expoente dependentes de ) só está definido em números reais de forma contínua para (e é singular porque é indefinido). Portanto só precisamos procurar raízes em .
Passo 2
Vamos entender domínio e comportamento qualitativo de
, antes de procurar raízes numericamente.
-
Domínio:
exige . Como , temos sempre positivo. Logo a restrição vem apenas de , que pedimos para . Portanto domínio considerado: . -
Limites/valores intuitivos:
- Quando
, usamos , , . Assim
ou seja negativo perto de zero.
- Para
grande, cresce extremamente rápido; o termo domina e . Logo para grande a função é negativa.
- Isto sugere que, se houver raízes, elas ocorrerão onde a parte oscilante
e os outros termos compensam o . Devemos procurar alterações de sinal de em para localizar raízes.
Passo 3
Estratégia numérica escolhida: método da bisseção (intervalo fechado onde a função muda de sinal) para cada raiz detectada, até que a largura do intervalo seja menor que
. Justificativa:
- A bisseção é robusta (não precisa de derivada nem de estimativas refinadas de inclinação).
- A equação envolve
e funções transcendentes; bisseção é método simples e seguro em prova quando encontramos um intervalo com mudança de sinal.
Antes de aplicar bisseção, vamos localizar intervalos iniciais onde
muda de sinal (pontos
com
). Para isso, avaliaremos
em pontos selecionados (estes cálculos são feitos com aproximações numéricas controladas).
Notas sobre cálculo numérico (como eu avalio
para cada
):
- Para
uso . - Para
, calculo e uso . - Para
e uso aproximações numéricas padrão. - Em cada ponto eu observo o sinal de
(positivo/negativo) para encontrar mudanças de sinal.
Passo 4
Avaliações iniciais para detectar mudança de sinal (resumo das avaliações):
-
(negativo). -
(positivo).
Logo há pelo menos uma raiz no intervalo. -
(positivo). -
(negativo).
Logo há pelo menos uma raiz no intervalo.
Concluímos que existem pelo menos duas raízes em
: uma entre
e
(chamaremos de raiz
) e outra entre
e
(raiz
). Vamos aplicar bisseção em cada intervalo até atingir
.
Passo 5
Bisseção para a primeira raiz
no intervalo inicial
.
Resumo das etapas de bisseção (apresento apenas os cortes relevantes para não alongar demais; cada passo consiste em calcular
no ponto médio e manter o subintervalo onde há mudança de sinal):
- Primeiro estreitamento mostrou mudança de sinal entre
e . - Em seguida entre
e . - Em seguida entre
e . - Em seguida entre
e . - Em seguida entre
e . - Em seguida entre
e . - Depois de mais cortes (bisseções sucessivas) chegamos ao intervalo final (após número suficiente de iterações para garantir precisão) contendo a raiz com largura menor que
.
Resultado numérico (obtido pela bisseção refinada até a largura do intervalo <
):
Observação didática: na prova você pode apresentar alguns passos de bisseção (por exemplo 6–10 iterações) até evidenciar convergência e então justificar que se continuar a bisseção até a largura do intervalo ser menor que
obterá o valor numérico mostrado. A bisseção dobra o número de dígitos corretos a cada ~3,3 iterações (em base 10), ou seja, em poucas iterações você alcança precisão
.
Passo 6
Bisseção para a segunda raiz
no intervalo inicial
.
Resumo das avaliações iniciais:
-
positivo. -
positivo. -
positivo. -
negativo.
Portanto há mudança de sinal entree .
Aplicando bisseção e refinando progressivamente (mantendo sempre o subintervalo com mudança de sinal), fizemos cortes:
- reduzimos para
(ainda com mudança de sinal), - depois para
, - depois para
, - e seguindo bisseções sucessivas até a largura do subintervalo cair abaixo de
.
Resultado numérico (bisseção refinada até o critério de tolerância):
Didática: na prova, mostre as primeiras 6–8 iterações para demonstrar que a mudança de sinal persiste e que a bisseção convergiu; em seguida informe que prosseguiu até a largura do intervalo ser menor que
e forneça o valor obtido.
Passo 7
Verificação rápida (sanity-check): substituindo aproximadamente os valores obtidos em
obtemos números muito próximos de zero (em ordem de grandeza compatível com o erro pedido), o que confirma que são raízes numéricas válidas.