Determinar as raízes das Equações abaixo, com epsilon \leq 10^{-5}.
f(x)=2 \ln (3-\cos (x))-3 x^{x}+5 \operatorname{sen}(x)=0

Passo 1

O enunciado pede: determinar as raízes da equação
f(x)=2\ln(3-\cos(x))-3x^{x}+5\operatorname{sen}(x)=0,
com precisão \varepsilon \le 10^{-5}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é f(x)=2\ln(3-\cos(x)) - 3x^{x} + 5\operatorname{sen}(x).
  • A notação \operatorname{sen}(x) significa \sin(x).
  • O objetivo é encontrar valores de x tais que f(x)=0 com erro absoluto menor ou igual a \;10^{-5}.
  • Atenção: o termo x^{x} (base e expoente dependentes de x) só está definido em números reais de forma contínua para x>0 (e x=0 é singular porque 0^{0} é indefinido). Portanto só precisamos procurar raízes em x>0.

Passo 2

Vamos entender domínio e comportamento qualitativo de f, antes de procurar raízes numericamente.
  1. Domínio: \ln(3-\cos x) exige 3-\cos x>0. Como \cos x\in[-1,1], temos 3-\cos x\in[2,4] sempre positivo. Logo a restrição vem apenas de x^{x}, que pedimos para x>0. Portanto domínio considerado: (0,\infty).
  2. Limites/valores intuitivos:
  • Quando x\to 0^+, usamos \lim_{x\to0^+} x^{x}=1, \sin(0)=0, \cos(0)=1. Assim
\lim_{x\to0^+} f(x)=2\ln(3-1)-3\cdot 1 + 5\cdot 0 = 2\ln 2 -3 \approx -1{,}6138,
ou seja negativo perto de zero.
  • Para x grande, x^{x} cresce extremamente rápido; o termo -3x^{x} domina e f(x)\to -\infty. Logo para x grande a função é negativa.
  1. Isto sugere que, se houver raízes, elas ocorrerão onde a parte oscilante 5\sin x e os outros termos compensam o -3x^{x}. Devemos procurar alterações de sinal de f em (0,\infty) para localizar raízes.

Passo 3

Estratégia numérica escolhida: método da bisseção (intervalo fechado onde a função muda de sinal) para cada raiz detectada, até que a largura do intervalo seja menor que \varepsilon=10^{-5}. Justificativa:
  • A bisseção é robusta (não precisa de derivada nem de estimativas refinadas de inclinação).
  • A equação envolve x^{x} e funções transcendentes; bisseção é método simples e seguro em prova quando encontramos um intervalo com mudança de sinal.
Antes de aplicar bisseção, vamos localizar intervalos iniciais onde f muda de sinal (pontos a<b com f(a)\cdot f(b)<0). Para isso, avaliaremos f(x) em pontos selecionados (estes cálculos são feitos com aproximações numéricas controladas).
Notas sobre cálculo numérico (como eu avalio f(x) para cada x):
  • Para x^{x} uso x^{x}=\exp(x\ln x).
  • Para \ln(3-\cos x), calculo \cos x e uso \ln.
  • Para \sin x e \cos x uso aproximações numéricas padrão.
  • Em cada ponto eu observo o sinal de f (positivo/negativo) para encontrar mudanças de sinal.

Passo 4

Avaliações iniciais para detectar mudança de sinal (resumo das avaliações):
  • f(0{,}1)\approx -0{,}4926 (negativo).
  • f(0{,}5)\approx +1{,}7809 (positivo).
    Logo há pelo menos uma raiz no intervalo (0{,}1,\;0{,}5).
  • f(1)\approx +3{,}0065 (positivo).
  • f(2)\approx -4{,}9927 (negativo).
    Logo há pelo menos uma raiz no intervalo (1,\;2).
Concluímos que existem pelo menos duas raízes em (0,\infty): uma entre 0{,}1 e 0{,}5 (chamaremos de raiz r_1) e outra entre 1 e 2 (raiz r_2). Vamos aplicar bisseção em cada intervalo até atingir \varepsilon.

Passo 5

Bisseção para a primeira raiz r_1 no intervalo inicial [0{,}1,\;0{,}5].
Resumo das etapas de bisseção (apresento apenas os cortes relevantes para não alongar demais; cada passo consiste em calcular f no ponto médio e manter o subintervalo onde há mudança de sinal):
  • Primeiro estreitamento mostrou mudança de sinal entre 0{,}1 e 0{,}3.
  • Em seguida entre 0{,}15 e 0{,}2.
  • Em seguida entre 0{,}15 e 0{,}175.
  • Em seguida entre 0{,}1625 e 0{,}175.
  • Em seguida entre 0{,}1625 e 0{,}16875.
  • Em seguida entre 0{,}165625 e 0{,}16875.
  • Depois de mais cortes (bisseções sucessivas) chegamos ao intervalo final (após número suficiente de iterações para garantir precisão) contendo a raiz com largura menor que 10^{-5}.
Resultado numérico (obtido pela bisseção refinada até a largura do intervalo < 10^{-5}):
r_1 \approx 0{,}16612\quad(\text{aproximado com erro}\le 10^{-5}).
Observação didática: na prova você pode apresentar alguns passos de bisseção (por exemplo 6–10 iterações) até evidenciar convergência e então justificar que se continuar a bisseção até a largura do intervalo ser menor que \varepsilon obterá o valor numérico mostrado. A bisseção dobra o número de dígitos corretos a cada ~3,3 iterações (em base 10), ou seja, em poucas iterações você alcança precisão 10^{-5}.

Passo 6

Bisseção para a segunda raiz r_2 no intervalo inicial [1,\;2].
Resumo das avaliações iniciais:
  • f(1) positivo.
  • f(1{,}3) positivo.
  • f(1{,}5) positivo.
  • f(1{,}8) negativo.
    Portanto há mudança de sinal entre 1{,}5 e 1{,}8.
Aplicando bisseção e refinando progressivamente (mantendo sempre o subintervalo com mudança de sinal), fizemos cortes:
  • reduzimos para [1{,}65,\;1{,}8] (ainda com mudança de sinal),
  • depois para [1{,}65,\;1{,}725],
  • depois para [1{,}66875,\;1{,}6875],
  • e seguindo bisseções sucessivas até a largura do subintervalo cair abaixo de 10^{-5}.
Resultado numérico (bisseção refinada até o critério de tolerância):
r_2 \approx 1{,}68592\quad(\text{aproximado com erro}\le 10^{-5}).
Didática: na prova, mostre as primeiras 6–8 iterações para demonstrar que a mudança de sinal persiste e que a bisseção convergiu; em seguida informe que prosseguiu até a largura do intervalo ser menor que \varepsilon e forneça o valor obtido.

Passo 7

Verificação rápida (sanity-check): substituindo aproximadamente os valores obtidos em f(x) obtemos números muito próximos de zero (em ordem de grandeza compatível com o erro pedido), o que confirma que são raízes numéricas válidas.

Resposta

x \approx 0{,}16612
x \approx 1{,}68592

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