Determine se a série converge ou diverge. Justifique sua resposta.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} n}{10^{n}}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} n}{10^{n}}
e pede para determinar se ela converge ou diverge, com justificativa. Informações relevantes que temos: para cada n o termo geral é \dfrac{(-1)^{n} n}{10^{n}}. Não é pedido explicitamente o valor da soma, mas podemos tentar também encontrá‑la como forma de justificar a convergência.

Passo 2

Primeira ideia (conceito que vou usar): se a série dos valores absolutos converge, isto é, se
\sum_{n=1}^{\infty} \left|\frac{(-1)^{n} n}{10^{n}}\right| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{10^{n}}
converge, então a série original converge absolutamente e, portanto, converge. Vou mostrar que a série dos valores absolutos converge usando o teste da raiz (root test).
Explicando o teste da raiz de forma simples: dado uma série com termos a_n, calcule
L = \limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}.
Se L<1 a série converge absolutamente; se L>1 diverge; se L=1 o teste é inconclusivo.

Passo 3

Aplicando o teste da raiz aos termos absolutos |a_n|=\dfrac{n}{10^{n}}. Calculo a n-ésima raiz:
\sqrt[n]{|a_n|} = \sqrt[n]{\frac{n}{10^{n}}} = \frac{\sqrt[n]{n}}{10}.
Agora uso o fato (que vou explicar rapidamente) de que \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1. Intuitivamente, n^{1/n} tende a 1 porque potências de índice que cresce “achatam” qualquer crescimento polinomial; formalmente pode ver isso tomando logaritmo: \ln(n^{1/n})=\frac{\ln n}{n}\to0, então n^{1/n}\to e^{0}=1.
Portanto
L=\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[n]{n}}{10}=\frac{1}{10}.
Como L=\dfrac{1}{10}<1, o teste da raiz diz que a série dos valores absolutos converge. Logo a série original converge absolutamente e, portanto, converge.

Passo 4

Vou ainda mostrar uma forma direta e construtiva de obter a soma dessa série (é útil para entender o comportamento e é um truque que aparece bastante em provas). Considere a série geométrica clássica: para |r|<1,
\sum_{n=0}^{\infty} r^{n}=\frac{1}{1-r}.
Derivando termo a termo em r (isso é permitido quando |r|<1), obtemos
\sum_{n=1}^{\infty} n r^{n-1}=\frac{1}{(1-r)^{2}}.
Multiplicando ambos os lados por r obtemos a fórmula útil
\sum_{n=1}^{\infty} n r^{n}=\frac{r}{(1-r)^{2}},\qquad\text{para }|r|<1.

Passo 5

No nosso caso temos r=-\dfrac{1}{10} porque o termo é \dfrac{(-1)^{n} n}{10^{n}}=n\left(-\dfrac{1}{10}\right)^{n}. Como |r|=\dfrac{1}{10}<1, podemos aplicar a fórmula:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} n}{10^{n}} = \sum_{n=1}^{\infty} n\left(-\frac{1}{10}\right)^{n} = \frac{-\dfrac{1}{10}}{\left(1-(-\dfrac{1}{10})\right)^{2}}.
Calculo passo a passo o denominador:
1-(-\tfrac{1}{10})=1+\tfrac{1}{10}=\tfrac{11}{10},
portanto
\left(1-(-\tfrac{1}{10})\right)^{2}=\left(\tfrac{11}{10}\right)^{2}=\tfrac{121}{100}.
Assim a soma é
\frac{-\tfrac{1}{10}}{\tfrac{121}{100}}=-\frac{1}{10}\cdot\frac{100}{121}=-\frac{10}{121}.
Isso confirma que a série converge (ainda mais: converge absolutamente) e fornece o valor da soma.

Resposta

A série converge absolutamente (logo converge) e sua soma é -\dfrac{10}{121}.

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