Determine se a série converge ou diverge.(SÉRIES ALTERNADAS)
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{2 n+5};

Passo 1

O enunciado nos apresenta a série alternada \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{2n+5}
e pede para determinar se ela converge ou diverge. Vamos usar o teste de Leibniz (alternante) e depois verificar a convergência absoluta.

Passo 2

Definimos b_n = \frac{1}{2n+5}. Verificamos as hipóteses do teste de Leibniz:
  1. \lim_{n\to\infty}b_n = \lim_{n\to\infty}\tfrac{1}{2n+5} = 0.
  2. Para todo n,
b_{n+1} = \frac{1}{2(n+1)+5} = \frac{1}{2n+7} < \frac{1}{2n+5} = b_n,
logo (b_n) é decrescente.

Passo 3

Pelo teste de Leibniz, como b_n>0, b_n é decrescente e \lim_{n\to\infty}b_n=0, concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}b_n
converge.

Passo 4

Agora, para a convergência absoluta, analisamos
\sum_{n=1}^{\infty}\bigl|a_n\bigr| =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n+5}.
Como para n\ge1 vale \frac{1}{2n+5}\ge\frac{1}{3n} e sabemos que \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3n}=\tfrac13\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}
é divergente, segue que \sum1/(2n+5) diverge. Portanto não há convergência absoluta.

Resposta

A série converge condicionalmente pelo teste de Leibniz, mas não converge absolutamente.

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