Determine se a série converge ou diverge.(SÉRIES ALTERNADAS) \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{2 n+5};
Passo 1
O enunciado nos apresenta a série alternada \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{2n+5}
e pede para determinar se ela converge ou diverge. Vamos usar o teste de Leibniz (alternante) e depois verificar a convergência absoluta.
Passo 2
Definimos b_n = \frac{1}{2n+5}. Verificamos as hipóteses do teste de Leibniz:
Como para n\ge1 vale \frac{1}{2n+5}\ge\frac{1}{3n} e sabemos que \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3n}=\tfrac13\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}
é divergente, segue que \sum1/(2n+5) diverge. Portanto não há convergência absoluta.
Resposta
A série converge condicionalmente pelo teste de Leibniz, mas não converge absolutamente.