Determine se a série converge ou diverge.(SÉRIES ALTERNADAS)
\sum_{n=4}^{+\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n-3}};

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=4}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n-3}}
e pede se ela converge ou diverge. Como há o fator alternado (-1)^{n-1}, vamos usar o Teste de Leibniz (ou Critério da Série Alternada), que exige verificar duas condições sobre
b_n = \frac{1}{\sqrt{n-3}}\,,\quad n\ge4.

Passo 2

Mostramos que b_n>0 e que é decrescente para n\ge4. De fato, para n\ge4 temos
b_{n+1} = \frac{1}{\sqrt{(n+1)-3}} = \frac{1}{\sqrt{n-2}} \quad\text{e}\quad b_n = \frac{1}{\sqrt{n-3}}.
Como \sqrt{n-2}>\sqrt{n-3}, segue b_{n+1}<b_n. Logo, (b_n) é positiva e decrescente.

Passo 3

Verificamos o limite de b_n:
\lim_{n\to\infty} b_n = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{\sqrt{n-3}} = 0.
Portanto, as duas condições do Teste de Leibniz estão satisfeitas.

Passo 4

Pelo Teste de Leibniz, a série
\sum_{n=4}^{\infty} (-1)^{n-1}b_n
converge.

Passo 5

Para ver se converge absolutamente, consideramos
\sum_{n=4}^{\infty} \bigl|(-1)^{n-1}b_n\bigr| = \sum_{n=4}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n-3}}.
Essa é equivalente à série p-série com p=\tfrac12\le1, que diverge. Logo, não há convergência absoluta.

Resposta

A série converge condicionalmente pelo Teste de Leibniz.

Exercícios relacionados