Determine se a série converge ou diverge.(SÉRIES ALTERNADAS)
\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1} \frac{n}{3 n-2};

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série alternada
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\,\frac{n}{3n-2}.
Vamos usar o teste necessário de convergência (se uma série converge então seu termo geral tende a zero) e, se quiser, comentar que o teste de Leibniz (para séries alternadas) também exige \lim_{n\to\infty}a_n=0.

Passo 2

Calcular o limite do termo geral positivo
a_n = \frac{n}{3n-2}.
Dividindo numerador e denominador por n, obtemos
\lim_{n\to\infty}a_n =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{3 - \tfrac{2}{n}} =\frac{1}{3-0} =\frac{1}{3}.

Passo 3

Como \lim_{n\to\infty}a_n = \tfrac{1}{3}\neq 0, a série não satisfaz a condição necessária de convergência. Logo, independe de ser alternada, ela diverge pelo teste da divergência (termo geral não nulo).

Resposta

A série diverge.

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