Determine se a série converge ou diverge.(SÉRIES ALTERNADAS)
\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1} \frac{1}{n};

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série alternada
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{n}.
O conteúdo principal é o teste de Leibniz para séries alternadas e o teste de convergência absoluta.

Passo 2

Aplicamos o teste de Leibniz. Definimos
b_n = \frac{1}{n}.
Verificamos que para todo n\ge1:
  1. b_n>0.
  2. b_{n+1} = \tfrac{1}{n+1} < \tfrac{1}{n} = b_n (sequência decrescente).
  3. \displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n = 0.
    Pelo critério de Leibniz, a série alternada converge.

Passo 3

Agora checamos a convergência absoluta, isto é, a série
\sum_{n=1}^{\infty}\bigl|(-1)^{n-1}\tfrac{1}{n}\bigr| = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n},
que é a série harmônica. Sabemos que a série harmônica diverge. Logo, a série original não converge absolutamente.

Passo 4

Como a série converge pelo teste de Leibniz, mas não converge absolutamente, dizemos que ela possui convergência condicional.

Resposta

A série converge condicionalmente (é convergente, mas não absolutamente).

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