Determine se a série converge ou diverge.
\sum_{n=5}^{\infty} \frac{2 n+n^{2}}{n^{3}+1}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=5}^{\infty} \frac{2n + n^{2}}{n^{3} + 1}
converge ou diverge. O conteúdo é séries numéricas, e aqui vamos usar o teste do limite comparativo comparando com a série harmônica \sum 1/n.

Passo 2

Defina
a_n = \frac{2n + n^{2}}{n^{3} + 1}, \qquad b_n = \frac{1}{n}.
Para n grande, o termo a_n se comporta como
\frac{n^2}{n^3} = \frac{1}{n},
ou seja, é da mesma ordem de b_n.

Passo 3

Vamos calcular o limite
L = \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2n + n^{2}}{n^{3} + 1}}{\frac{1}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{(2n + n^{2})\,n}{n^{3} + 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{3} + 2n^{2}}{n^{3} + 1}.
Dividindo numerador e denominador por n^{3},
L = \lim_{n \to \infty} \frac{1 + 2/n}{1 + 1/n^{3}} = 1.

Passo 4

Como 0 < L < \infty e sabemos que \sum b_n = \sum 1/n é divergente (série harmônica), o teste do limite comparativo garante que
\sum a_n também diverge.

Resposta

A série diverge.

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