Encontre a derivada da função.
F(t)=e^{t \operatorname{sen} 2 t}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
F(t)=e^{\,t\operatorname{sen} 2t}
Este é um caso de regra da cadeia, pois temos uma exponencial composta. Para resolver, vamos usar:
  1. Derivada de e^{u(t)} é e^{u(t)}\cdot u'(t).
  2. Para u(t)=t\sin(2t), usamos a regra do produto.

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia a F(t)=e^{u(t)}, obtemos
F'(t)=e^{u(t)}\cdot u'(t).
Aqui u(t)=t\sin(2t), então
F'(t)=e^{\,t\sin(2t)}\;u'(t).

Passo 3

Para encontrar u'(t) com u(t)=t\sin(2t), aplicamos a regra do produto:
u'(t)=\frac{d}{dt}[t]\cdot\sin(2t)+t\cdot\frac{d}{dt}[\sin(2t)].

Passo 4

Calculando as derivadas parciais:
\frac{d}{dt}[t]=1, \qquad \frac{d}{dt}[\sin(2t)]=\cos(2t)\cdot\frac{d}{dt}[2t]=2\cos(2t).
Logo,
u'(t)=1\cdot\sin(2t)+t\cdot2\cos(2t) =\sin(2t)+2t\cos(2t).

Resposta

F'(t)=e^{\,t\sin(2t)}\bigl(\sin(2t)+2t\cos(2t)\bigr).

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