Encontre a derivada da função.
f(t)=\sqrt[3]{1+\operatorname{tg} t}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função f(t)=\sqrt[3]{1+\tan t}. O conteúdo da matéria envolvido é derivação de funções compostas, usando a regra da cadeia, e precisaremos também da derivada de \tan t, que é \operatorname{sec}^2 t.

Passo 2

Para aplicar a regra da cadeia, identificamos a parte externa e a parte interna da função. A parte externa é
g(u)=u^{\tfrac{1}{3}},
enquanto a parte interna é
u(t)=1+\tan t.

Passo 3

Calculamos as derivadas de cada parte separadamente. Para g temos
g'(u)=\frac{1}{3}u^{-\tfrac{2}{3}},
e para u
u'(t)=\operatorname{sec}^2 t.

Passo 4

Agora aplicamos a regra da cadeia:
f'(t)=g'\bigl(u(t)\bigr)\cdot u'(t) =\frac{1}{3}(1+\tan t)^{-\tfrac{2}{3}}\cdot\operatorname{sec}^2 t.

Resposta

f'(t)=\frac{\operatorname{sec}^2 t}{3\,(1+\tan t)^{\tfrac{2}{3}}}.

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