Determine se a série converge ou diverge.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2 n^{3}+1}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2 n^{3}+1}
converge ou diverge. Informações dadas e observações imediatas:
  • O termo geral é a_{n}=\dfrac{n}{2 n^{3}+1}.
  • Para todo n\ge 1 temos a_{n}>0 (os termos são positivos).
  • Não há outras condições explícitas; precisamos decidir convergência ou divergência da série de termos positivos acima.

Passo 2

Intuição inicial e escolha do caminho: quando n é grande, os termos polinomiais dominantes costumam determinar o comportamento. Aqui, para n grande, o numerador cresce como n e o denominador como 2n^{3}, logo espera-se algo do tipo constante vezes 1/n^{2}. A série \sum 1/n^{2} é conhecida por convergir (é uma série p-série com p=2). Portanto faz sentido comparar nossa série com a série
b_{n}=\frac{1}{n^{2}}.
Vou usar o teste da comparação por limite (limit comparison test), que é prático e rigoroso para esse tipo de situação.

Passo 3

Aula rápida sobre a série p\)-série (isso é útil para aplicar a comparação): - Uma \(p\)-série tem a forma \(\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{p}}\). - Resultado fundamental: a \(p\)-série converge se, e somente se, \(p>1\). Caso \(p\le 1\) ela diverge. - Justificativa curta (intuição/razão): isso pode ser mostrado usando o teste da integral. Considere a integral \[\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^{p}}\,dx.
Calculando:
\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^{p}}\,dx= \begin{cases} \displaystyle\left[\frac{x^{1-p}}{1-p}\right]_{1}^{\infty}, & p\neq 1,\\[6pt] \displaystyle\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x}\,dx, & p=1. \end{cases}
Se p>1\] então \(1-p<0 e x^{1-p}\to 0 quando x\to\infty, logo a integral é finita (converge). Se p\le 1 a integral diverge. Pelo teste da integral, isso transfere para a série. Assim \sum 1/n^{2} converge.]

Passo 4

Aula rápida sobre o teste da comparação por limite (limit comparison test):
  • Seja a_{n}>0 e b_{n}>0. Se existir o limite finito e positivo
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}}\quad\text{com}\quad 0<L<\infty,
então as séries \sum a_{n} e \sum b_{n} têm o mesmo comportamento: ou ambas convergem ou ambas divergem.
  • Intuição: quando o quociente tende a uma constante positiva, os termos são da mesma ordem assintótica.

Passo 5

Aplicação do teste da comparação por limite com a_{n}=\dfrac{n}{2 n^{3}+1} e b_{n}=\dfrac{1}{n^{2}}.
Calculemos o quociente:
\frac{a_{n}}{b_{n}} = \frac{\dfrac{n}{2 n^{3}+1}}{\dfrac{1}{n^{2}}} = \frac{n\cdot n^{2}}{2 n^{3}+1} = \frac{n^{3}}{2 n^{3}+1}.
Agora o limite quando n\to\infty. Dividimos numerador e denominador por n^{3} para ver claramente:
\frac{n^{3}}{2 n^{3}+1} = \frac{1}{2+\dfrac{1}{n^{3}}}.
Quando n\to\infty temos \dfrac{1}{n^{3}}\to 0, logo
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}}=\frac{1}{2}.
Esse limite é um número finito e positivo ( L=\tfrac{1}{2}\in(0,\infty)). Pelo teste da comparação por limite, \sum a_{n} e \sum b_{n} têm o mesmo comportamento.

Passo 6

Como já vimos em

Passo 7

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2 n^{3}+1}
converge. Observação final: os termos são positivos, então estamos afirmando convergência simples (que aqui coincide com convergência absoluta, pois todos os termos são não negativos).

Resposta

A série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n}{2 n^{3}+1} converge.

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