Determine se a série converge ou diverge.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2 n^{3}+1}
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2 n^{3}+1}
converge ou diverge. Informações dadas e observações imediatas:
O termo geral é a_{n}=\dfrac{n}{2 n^{3}+1}.
Para todo n\ge 1 temos a_{n}>0 (os termos são positivos).
Não há outras condições explícitas; precisamos decidir convergência ou divergência da série de termos positivos acima.
Passo 2
Intuição inicial e escolha do caminho: quando n é grande, os termos polinomiais dominantes costumam determinar o comportamento. Aqui, para n grande, o numerador cresce como n e o denominador como 2n^{3}, logo espera-se algo do tipo constante vezes 1/n^{2}. A série \sum 1/n^{2} é conhecida por convergir (é uma série p-série com p=2). Portanto faz sentido comparar nossa série com a série
b_{n}=\frac{1}{n^{2}}.
Vou usar o teste da comparação por limite (limit comparison test), que é prático e rigoroso para esse tipo de situação.
Passo 3
Aula rápida sobre a série p\)-série (isso é útil para aplicar a comparação):
- Uma \(p\)-série tem a forma \(\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{p}}\).
- Resultado fundamental: a \(p\)-série converge se, e somente se, \(p>1\). Caso \(p\le 1\) ela diverge.
- Justificativa curta (intuição/razão): isso pode ser mostrado usando o teste da integral. Considere a integral
\[\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^{p}}\,dx.
Se p>1\] então \(1-p<0 e x^{1-p}\to 0 quando x\to\infty, logo a integral é finita (converge). Se p\le 1 a integral diverge. Pelo teste da integral, isso transfere para a série. Assim \sum 1/n^{2} converge.]
Passo 4
Aula rápida sobre o teste da comparação por limite (limit comparison test):
Seja a_{n}>0 e b_{n}>0. Se existir o limite finito e positivo
Quando n\to\infty temos \dfrac{1}{n^{3}}\to 0, logo
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}}=\frac{1}{2}.
Esse limite é um número finito e positivo (L=\tfrac{1}{2}\in(0,\infty)). Pelo teste da comparação por limite, \sum a_{n} e \sum b_{n} têm o mesmo comportamento.
Passo 6
Como já vimos em
Passo 7
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2 n^{3}+1}
converge. Observação final: os termos são positivos, então estamos afirmando convergência simples (que aqui coincide com convergência absoluta, pois todos os termos são não negativos).
Resposta
A série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n}{2 n^{3}+1} converge.