Questão 3:(2,5 pontos) Considere a equação diferencial ordinária:
a) Demonstre que
é um ponto singular regular dessa equação.
b) Determine a relação de recorrência entre os coeficientes
da solução em série potências em torno de
associada à maior das duas raízes da equação indicial.
c) Calcule os quatro primeiros coeficientes desta série quando
.
b) Determine a relação de recorrência entre os coeficientes
c) Calcule os quatro primeiros coeficientes desta série quando
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária
e pede três coisas:
- (a) Mostrar que
é um ponto singular regular dessa equação. - (b) Determinar a relação de recorrência entre os coeficientes
da solução em série de potências em torno de correspondente à maior das raízes da equação indicial. - (c) Calcular os quatro primeiros coeficientes dessa série quando
.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A equação está escrita com coeficientes que envolvem
e . - Deve-se procurar uma solução por série (método de Frobenius) em torno de
. - Vamos precisar obter a equação indicial e a relação de recorrência entre coeficientes e então calcular
quando .
Passo 2
Definição útil (explicação didática): para uma equação linear de segunda ordem escrita na forma padrão
o ponto
é um ponto singular regular se
tiver pólo de ordem no máximo 1 e
tiver pólo de ordem no máximo 2 em
. Uma forma prática é checar se
e
têm limites finitos (ou são analíticos) em
.
Aplicando isso à nossa equação: divido tudo por
(isto é, escrevo na forma padrão):
Aqui identificamos
Calculo
e
:
Ambos são finitos quando
(o primeiro é constante
, o segundo tende a
). Assim
é um ponto singular regular. (Isso completa a demonstração pedida em (a).)
Passo 3
Agora vamos ao método de Frobenius para obter a série solução em torno de
. A ideia: procurar uma solução da forma
onde
é um número (a ordem inicial) a determinar e
. O parâmetro
aparece porque em um ponto singular regular a série pode começar com uma potência não-inteira ou deslocada; a equação indicial determina os possíveis
.
Vou calcular
e
em termos dessa série:
Passo 4
Substituo
,
e
na equação original
. Cada termo vira:
-
. -
. -
.
Somando:
Passo 5
Simplifico o coeficiente da primeira soma:
Logo a equação fica
Agora alinhar as potências: a primeira soma tem termos em
. Na segunda soma a potência é
; para escrever tudo com
faço a mudança de índice
na segunda soma (observe que quando
a segunda soma dá
, então após a mudança a soma passa a iniciar em
):
Passo 6
Agora separo o termo com
da primeira soma (é o termo de menor potência
) e agrupo os demais termos com mesma potência
para
:
- Termo
: . - Para
: .
Como a soma das séries é zero para todos
pequenos, os coeficientes de cada potência
,
, … devem ser zero. Assim obtemos:
- Equação indicial (coeficiente de
):
Como
por hipótese da forma de Frobenius, obtemos a equação indicial
As raízes são
e
.
- Relação de recorrência (para
):
Isto é,
Passo 7
O enunciado pede a relação de recorrência associada à maior das duas raízes da equação indicial. As raízes são
e
, então a maior é
. Substituindo
na fórmula geral:
Posso reescrever de forma mais simples:
Essa é a relação de recorrência pedida em (b).
Passo 8
Agora calculo os quatro primeiros coeficientes da série quando
e tomando
. Os quatro primeiros coeficientes pediremos como
.
Usamos repetidamente a recorrência
.
- Para
:
- Para
:
Detalhe das contas:
, então
.
- Para
:
Porque
e
.
Portanto os quatro primeiros coeficientes são
,
,
,
.
Resposta
a)
é ponto singular regular.
b) Para a maior raiz
:
c) Com
:
,
,
,
.