Questão 3:(2,5 pontos) Considere a equação diferencial ordinária:
x^{2} y^{\prime \prime}-x y^{\prime}+x y=0 .
a) Demonstre que x=0 é um ponto singular regular dessa equação.
b) Determine a relação de recorrência entre os coeficientes c_{n} da solução em série potências em torno de x=0 associada à maior das duas raízes da equação indicial.
c) Calcule os quatro primeiros coeficientes desta série quando c_{0}=1.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária
x^{2}y''-x y'+x y=0
e pede três coisas:
  1. (a) Mostrar que x=0 é um ponto singular regular dessa equação.
  2. (b) Determinar a relação de recorrência entre os coeficientes c_{n} da solução em série de potências em torno de x=0 correspondente à maior das raízes da equação indicial.
  3. (c) Calcular os quatro primeiros coeficientes dessa série quando c_{0}=1.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A equação está escrita com coeficientes que envolvem x^{2},x e x.
  • Deve-se procurar uma solução por série (método de Frobenius) em torno de x=0.
  • Vamos precisar obter a equação indicial e a relação de recorrência entre coeficientes e então calcular c_{0},c_{1},c_{2},c_{3} quando c_{0}=1.

Passo 2

Definição útil (explicação didática): para uma equação linear de segunda ordem escrita na forma padrão
y''+p(x)y'+q(x)y=0,
o ponto x=0 é um ponto singular regular se p(x) tiver pólo de ordem no máximo 1 e q(x) tiver pólo de ordem no máximo 2 em x=0. Uma forma prática é checar se x p(x) e x^{2} q(x) têm limites finitos (ou são analíticos) em x\to 0.
Aplicando isso à nossa equação: divido tudo por x^{2} (isto é, escrevo na forma padrão):
y''-\frac{1}{x}y'+\frac{1}{x}y=0.
Aqui identificamos
p(x)=-\frac{1}{x},\qquad q(x)=\frac{1}{x}.
Calculo x p(x) e x^{2} q(x):
x p(x)=x\left(-\frac{1}{x}\right)=-1, \qquad x^{2} q(x)=x^{2}\left(\frac{1}{x}\right)=x.
Ambos são finitos quando x\to 0 (o primeiro é constante -1, o segundo tende a 0). Assim x=0 é um ponto singular regular. (Isso completa a demonstração pedida em (a).)

Passo 3

Agora vamos ao método de Frobenius para obter a série solução em torno de x=0. A ideia: procurar uma solução da forma
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} c_{n} x^{n+r},
onde r é um número (a ordem inicial) a determinar e c_{0}\neq 0. O parâmetro r aparece porque em um ponto singular regular a série pode começar com uma potência não-inteira ou deslocada; a equação indicial determina os possíveis r.
Vou calcular y' e y'' em termos dessa série:
y'(x)=\sum_{n=0}^{\infty} (n+r)\,c_{n}\,x^{n+r-1},
y''(x)=\sum_{n=0}^{\infty} (n+r)(n+r-1)\,c_{n}\,x^{n+r-2}.

Passo 4

Substituo y, y' e y'' na equação original \,x^{2}y''-x y'+x y=0. Cada termo vira:
  • x^{2}y''=\sum_{n=0}^{\infty} (n+r)(n+r-1)\,c_{n}\,x^{n+r}.
  • -x y'=-\sum_{n=0}^{\infty} (n+r)\,c_{n}\,x^{n+r}.
  • x y=\sum_{n=0}^{\infty} c_{n}\,x^{n+r+1}.
Somando:
\sum_{n=0}^{\infty} \big[(n+r)(n+r-1)-(n+r)\big]c_{n}\,x^{n+r} +\sum_{n=0}^{\infty} c_{n}\,x^{n+r+1}=0.

Passo 5

Simplifico o coeficiente da primeira soma:
(n+r)(n+r-1)-(n+r)=(n+r)\big[(n+r-1)-1\big]=(n+r)(n+r-2).
Logo a equação fica
\sum_{n=0}^{\infty} (n+r)(n+r-2)\,c_{n}\,x^{n+r} +\sum_{n=0}^{\infty} c_{n}\,x^{n+r+1}=0.
Agora alinhar as potências: a primeira soma tem termos em x^{n+r}. Na segunda soma a potência é x^{n+r+1}; para escrever tudo com x^{n+r} faço a mudança de índice n\mapsto n-1 na segunda soma (observe que quando n=0 a segunda soma dá c_{0}x^{r+1}, então após a mudança a soma passa a iniciar em n=1):
\sum_{n=0}^{\infty} (n+r)(n+r-2)\,c_{n}\,x^{n+r} +\sum_{n=1}^{\infty} c_{n-1}\,x^{n+r}=0.

Passo 6

Agora separo o termo com n=0 da primeira soma (é o termo de menor potência x^{r}) e agrupo os demais termos com mesma potência x^{n+r} para n\ge 1:
  • Termo n=0: (r)(r-2)\,c_{0}\,x^{r}.
  • Para n\ge 1: \big[(n+r)(n+r-2)\,c_{n}+c_{n-1}\big]x^{n+r}.
Como a soma das séries é zero para todos x pequenos, os coeficientes de cada potência x^{r}, x^{r+1}, … devem ser zero. Assim obtemos:
  1. Equação indicial (coeficiente de x^{r}):
r(r-2)\,c_{0}=0.
Como c_{0}\neq 0 por hipótese da forma de Frobenius, obtemos a equação indicial
r(r-2)=0.
As raízes são r=0 e r=2.
  1. Relação de recorrência (para n\ge 1):
(n+r)(n+r-2)\,c_{n}+c_{n-1}=0.
Isto é,
c_{n}=-\frac{c_{n-1}}{(n+r)(n+r-2)},\qquad n\ge 1.

Passo 7

O enunciado pede a relação de recorrência associada à maior das duas raízes da equação indicial. As raízes são r=0 e r=2, então a maior é r=2. Substituindo r=2 na fórmula geral:
c_{n}=-\frac{c_{n-1}}{(n+2)(n+2-2)}=-\frac{c_{n-1}}{(n+2)n}, \qquad n\ge 1.
Posso reescrever de forma mais simples:
c_{n}=-\frac{c_{n-1}}{n(n+2)},\qquad n\ge 1.
Essa é a relação de recorrência pedida em (b).

Passo 8

Agora calculo os quatro primeiros coeficientes da série quando c_{0}=1 e tomando r=2. Os quatro primeiros coeficientes pediremos como c_{0},c_{1},c_{2},c_{3}.
Usamos repetidamente a recorrência c_{n}=-\dfrac{c_{n-1}}{n(n+2)}.
  • Para n=1:
c_{1}=-\frac{c_{0}}{1\cdot(1+2)}=-\frac{1}{1\cdot 3}=-\frac{1}{3}.
  • Para n=2:
c_{2}=-\frac{c_{1}}{2\cdot(2+2)}=-\frac{-\tfrac{1}{3}}{2\cdot 4}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{8}=\frac{1}{24}.
Detalhe das contas: 2\cdot 4=8, então c_{2}=(1/3)/8=1/24.
  • Para n=3:
c_{3}=-\frac{c_{2}}{3\cdot(3+2)}=-\frac{\tfrac{1}{24}}{3\cdot 5}=-\frac{1}{24}\cdot\frac{1}{15}=-\frac{1}{360}.
Porque 3\cdot 5=15 e 24\cdot 15=360.
Portanto os quatro primeiros coeficientes são c_{0}=1, c_{1}=-\tfrac{1}{3}, c_{2}=\tfrac{1}{24}, c_{3}=-\tfrac{1}{360}.

Resposta

a) x=0 é ponto singular regular.
b) Para a maior raiz r=2: c_{n}=-\frac{c_{n-1}}{n(n+2)},\qquad n\ge 1.
c) Com c_{0}=1: c_{0}=1, c_{1}=-\dfrac{1}{3}, c_{2}=\dfrac{1}{24}, c_{3}=-\dfrac{1}{360}.

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