Objetivo imediato: aplicar a transformada de Laplace na equação, resolver para Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}\] e inverter a transformada para obter \(y(t).]
Passo 2
Breve revisão (didática) das ferramentas que vamos usar.
Definição da transformada de Laplace: para uma função razoável f(t)\) (definida para \(t\ge0\)),
\[\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=F(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt.
Aqui s é a variável da transformada (geralmente complexa).
Linearidade:
\mathcal{L}\{a f(t)+b g(t)\}=aF(s)+bG(s).
Transformada de derivadas (fundamental para EDOs com IVP): se Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\} então
\mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0),
\mathcal{L}\{y''(t)\}=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0).
Explico: essas fórmulas vêm de integrar por partes a definição da transformada aplicada à derivada; as condições iniciais aparecem naturalmente.
Função degrau (Heaviside) e teorema do deslocamento no tempo:
Se u_a(t) é o degrau unitário deslocado,
Isto é muito útil quando a força aparece a partir de um instante a.
Passo 3
Escrever g(t) usando o degrau e calcular sua transformada.
Observação: g(t)=0 para 0\le t<1 e g(t)=e^{t-1} para t\ge1. Isso é exatamente a forma g(t)=e^{t-1}u_1(t), porque para t<1 o degrau zera e para t\ge1 sobra e^{t-1}.
g(t)=e^{t-1}u_1(t).
Aplicar o teorema do deslocamento: escrevemos e^{t-1}=h(t-1) com h(\tau)=e^{\tau}. A transformada de h(\tau)=e^{\tau} é
\mathcal{L}\{e^{\tau}\}(s)=\frac{1}{s-1}\quad\text{(valida para \(\operatorname{Re}(s)>1\))}.
Interpretação: o primeiro termo \dfrac{1}{s^{2}+1} é a transformada de uma solução homogênea (vai virar \sin t). O segundo termo tem o fator e^{-s}, então usaremos o teorema do deslocamento inverso; precisamos encontrar a função cuja transformada é \dfrac{1}{(s-1)(s^{2}+1)}.
Passo 6
Inverso da primeira parcela: transformar 1/(s^{2}+1).
Sabemos que
\mathcal{L}\{\sin t\}(s)=\frac{1}{s^{2}+1}.
Portanto a contribuição da primeira parcela é
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^{2}+1}\right\}=\sin t.
Passo 7
Calcular a transformada inversa de [F(s)=\dfrac{1}{(s-1)(s^{2}+1)}) via frações parciais.
Resolver o sistema: da segunda equação C=B\]. Da primeira \(B=-A, logo C=-A. Substituindo na terceira A-(-A)=2A=1 dá A=\tfrac{1}{2}. Então B=-\tfrac{1}{2} e C=-\tfrac{1}{2}.