Determine se a série converge ou diverge.
Passo 1
O enunciado pede: determinar se a série
converge ou diverge. Informações dadas e observações iniciais:
- O termo geral é
. - Todos os termos são positivos para
. - Não há outros dados numéricos escondidos; a série é do tipo com termos positivos e queremos decidir convergência ou divergência.
Passo 2
Escolha do método: vou usar o teste de comparação por limite (limit comparison test) com uma série do tipo
-série. Por quê? Porque para
grande o termo dentro da raiz cúbica é dominado por
, então
deve se comportar como uma constante vezes
. As
-séries
têm critério simples: convergem se e somente se
. Como
, a
-série correspondente diverge, e o teste de comparação por limite transforma essa intuição em um argumento rigoroso. Vou explicar o teste e aplicá-lo passo a passo.
Passo 3
Definições e lembrete sobre
-séries:
- Defino
. - Como série de comparação tomo
, isto é, a -série com . - Propriedade do
-série: a série converge se, e somente se, . Aqui temos , portanto
diverge. Vou usar isso em conjunto com o teste de comparação por limite.
Passo 4
Enunciado do teste de comparação por limite (em palavras simples):
Se e
para todo
e existir o limite
Se
com
, então as séries
e
têm o mesmo comportamento: ou ambas convergem ou ambas divergem. Vou calcular esse limite.
Passo 5
Cálculo do limite de comparação:
Agora uso propriedade de potências/raízes cúbicas:
, então
Então
Esse limite é um número positivo e finito (ou seja,
com
), portanto as hipóteses do teste de comparação por limite estão satisfeitas.
Passo 6
Conclusão usando o teste de comparação por limite:
- Já sabemos que
diverge (pois ). - Como
, o teste nos diz que e têm o mesmo comportamento. - Portanto
diverge.
Resposta
A série diverge.