Determine se a série converge ou diverge.
\sum_{n=1} \frac{1}{\sqrt[3]{3 n^{2}+1}}

Passo 1

O enunciado pede: determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{3 n^{2}+1}}
converge ou diverge. Informações dadas e observações iniciais:
  • O termo geral é \displaystyle a_n=\frac{1}{\sqrt[3]{3 n^{2}+1}}.
  • Todos os termos são positivos para n\ge 1.
  • Não há outros dados numéricos escondidos; a série é do tipo com termos positivos e queremos decidir convergência ou divergência.

Passo 2

Escolha do método: vou usar o teste de comparação por limite (limit comparison test) com uma série do tipo p-série. Por quê? Porque para n grande o termo dentro da raiz cúbica é dominado por 3n^2, então a_n deve se comportar como uma constante vezes 1/n^{2/3}. As p-séries \sum 1/n^p têm critério simples: convergem se e somente se p>1. Como 2/3\le 1, a p-série correspondente diverge, e o teste de comparação por limite transforma essa intuição em um argumento rigoroso. Vou explicar o teste e aplicá-lo passo a passo.

Passo 3

Definições e lembrete sobre p-séries:
  • Defino \displaystyle a_n=\frac{1}{\sqrt[3]{3 n^{2}+1}}.
  • Como série de comparação tomo \displaystyle b_n=\frac{1}{n^{2/3}}, isto é, a p-série com p=\tfrac{2}{3}.
  • Propriedade do p-série: a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}} converge se, e somente se, p>1. Aqui temos p=\tfrac{2}{3}\le 1, portanto
\sum_{n=1}^{\infty} b_n=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2/3}}
diverge. Vou usar isso em conjunto com o teste de comparação por limite.

Passo 4

Enunciado do teste de comparação por limite (em palavras simples):
Se a_n\ge 0 e b_n>0 para todo n e existir o limite
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}
com 0<L<\infty, então as séries \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento: ou ambas convergem ou ambas divergem. Vou calcular esse limite.

Passo 5

Cálculo do limite de comparação:
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} =\lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac{1}{\sqrt[3]{3 n^{2}+1}}}{\dfrac{1}{n^{2/3}}} =\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2/3}}{\sqrt[3]{3 n^{2}+1}}.
Agora uso propriedade de potências/raízes cúbicas: n^{2/3}=(n^{2})^{1/3}, então
\frac{n^{2/3}}{\sqrt[3]{3 n^{2}+1}} =\left(\frac{n^{2}}{3n^{2}+1}\right)^{1/3}.
Então
\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n^{2}}{3n^{2}+1}\right)^{1/3} =\left(\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}}{3n^{2}+1}\right)^{1/3} =\left(\frac{1}{3}\right)^{1/3}=3^{-1/3}.
Esse limite é um número positivo e finito (ou seja, 0<L<\infty com L=3^{-1/3}), portanto as hipóteses do teste de comparação por limite estão satisfeitas.

Passo 6

Conclusão usando o teste de comparação por limite:
  • Já sabemos que \sum b_n=\sum 1/n^{2/3} diverge (pois p=\tfrac{2}{3}\le 1).
  • Como \lim_{n\to\infty} a_n/b_n=3^{-1/3}\in(0,\infty), o teste nos diz que \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento.
  • Portanto \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt[3]{3 n^{2}+1}} diverge.

Resposta

A série diverge.

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