Determine se a série converge ou diverge.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge. Informações dadas e o que é pedido:
- A soma é sobre
. - O termo geral é
. -
aparece apenas dentro de ; portanto é uma constante em relação a . - Pergunta: a série converge (tem soma finita) ou diverge (não tem soma finita)?
Passo 2
Teorema útil (teste da condição necessária): se uma série
converge, então o termo geral tende a zero:
Explicando isso de forma simples: para a soma infinita não explodir, os termos individuais têm que ficar cada vez menores e, no limite, ser zero. Se o limite dos termos não for zero, a soma não pode convergir. Um exemplo simples:
tem termos iguais a
, o limite não é zero, então a série diverge.
Passo 3
Vamos aplicar esse teste ao termo
. Primeiro calculemos o limite de
quando
.
Desenvolvendo:
Como
e
quando
, temos
Passo 4
Agora multiplicamos pela constante
. Como
não depende de
, o limite do termo geral é
Passo 5
Verifiquemos se esse limite pode ser zero. Para
real (ou mesmo complexo), a função exponencial nunca zera:
para todo
. Em particular, para todo
tem-se
. Logo
para qualquer
finito.
Passo 6
Pelo teste da condição necessária (Passo 2), como
, a série não pode convergir. Portanto a série diverge. (Observação alternativa, intuitiva: para todo
temos
, então
com
, e somar uma constante positiva infinitas vezes dá divergência.)
Resposta
A série diverge para todo
(aliás, para todo
).