Determine se a série converge ou diverge.
\sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2} e^{-s}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2} e^{-s}
converge ou diverge. Informações dadas e o que é pedido:
  • A soma é sobre n=1,2,3,\dots.
  • O termo geral é a_n=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{2} e^{-s}.
  • s aparece apenas dentro de e^{-s}; portanto e^{-s} é uma constante em relação a n.
  • Pergunta: a série converge (tem soma finita) ou diverge (não tem soma finita)?

Passo 2

Teorema útil (teste da condição necessária): se uma série \sum_{n=1}^\infty a_n converge, então o termo geral tende a zero:
\text{se }\sum_{n=1}^\infty a_n \text{ converge então } \lim_{n\to\infty} a_n = 0.ã
Explicando isso de forma simples: para a soma infinita não explodir, os termos individuais têm que ficar cada vez menores e, no limite, ser zero. Se o limite dos termos não for zero, a soma não pode convergir. Um exemplo simples: \sum_{n=1}^\infty 1 tem termos iguais a 1, o limite não é zero, então a série diverge.

Passo 3

Vamos aplicar esse teste ao termo a_n=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{2} e^{-s}. Primeiro calculemos o limite de \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{2} quando n\to\infty.
Desenvolvendo:
\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2} = 1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^{2}}.
Como \dfrac{2}{n}\to 0 e \dfrac{1}{n^{2}}\to 0 quando n\to\infty, temos
\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2} = 1.

Passo 4

Agora multiplicamos pela constante e^{-s}. Como e^{-s} não depende de n, o limite do termo geral é
\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2} e^{-s} = 1\cdot e^{-s} = e^{-s}.

Passo 5

Verifiquemos se esse limite pode ser zero. Para s real (ou mesmo complexo), a função exponencial nunca zera: e^{z}\neq 0 para todo z\in\mathbb{C}. Em particular, para todo s\in\mathbb{R} tem-se e^{-s}>0. Logo \lim_{n\to\infty} a_n = e^{-s}\neq 0 para qualquer s finito.

Passo 6

Pelo teste da condição necessária (Passo 2), como \lim_{n\to\infty} a_n \neq 0, a série não pode convergir. Portanto a série diverge. (Observação alternativa, intuitiva: para todo n temos \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{2}\ge 1, então a_n \ge e^{-s} com e^{-s}>0, e somar uma constante positiva infinitas vezes dá divergência.)

Resposta

A série diverge para todo s\in\mathbb{R} (aliás, para todo s\in\mathbb{C}).

Exercícios relacionados