Determine se a série converge ou diverge.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge. Informações dadas e observações imediatas:
- O termo geral é
. - Para todo
cada parte é positiva, logo para todo . - A pergunta é única: decidir convergência ou divergência da série.
Passo 2
Estratégia escolhida (explico por que): como os termos são positivos, um jeito padrão e eficiente é comparar com uma série conhecida (teste da comparação ou teste da comparação por limite). Para séries com potências de
o modelo natural é a p-série
. Vou usar o teste da comparação por limite (limit comparison test) com uma p-série apropriada, porque isso permite usar o comportamento assintótico do termo geral quando
.
Passo 3
Pequena aula sobre p-séries (essencial para a comparação):
- Uma p-série tem a forma
. - Teorema (fato importante): a p-série converge se, e somente se,
. Se diverge. - Intuição rápida: quando
é maior que 1 os termos decaem rápido o suficiente; quando não decaem rápido o suficiente. (Uma demonstração formal pode usar o teste da integral, mas aqui vamos só usar o critério.)
Passo 4
Pequena aula sobre o teste da comparação por limite (limit comparison test):
- Seja
e duas sequências positivas. Se existe o limite finito e positivo
então as séries
e
têm o mesmo comportamento: ou ambas convergem ou ambas divergem.
- Portanto, para aplicar, escolhemos uma
simples (a p-série) que tenha o mesmo decaimento assintótico de .
Passo 5
Escolha de
usando o comportamento assintótico:
- Para grandes
, o denominador é dominado pelo termo (porque cresce como , muito mais rápido que e que a constante ). - Assim heurística:
quando . - Isso sugere comparar com a p-série
onde
Aqui
, e portanto sabemos (pelo critério de p-séries do Passo 3) que
diverge.
Passo 6
Cálculo do limite do teste da comparação por limite (fazer rigoroso):
- Considere
- Simplifico passo a passo:
e no denominador é multiplicar por . Então
- Agora divido numerador e denominador por
para facilitar o limite:
- Tomando
obtemos
- O limite existe, é finito e positivo:
. Portanto o teste da comparação por limite é aplicável.
Passo 7
Conclusão usando os resultados:
- Como
diverge (p-série com ), e o limite é positivo e finito, segue pelo teste da comparação por limite que tem o mesmo comportamento que . - Portanto a série dada diverge.
Resposta
A série diverge.