Determine se a série converge ou diverge.
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\sqrt[3]{k}}{\sqrt{k}+4 k+3}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\sqrt[3]{k}}{\sqrt{k}+4 k+3}
converge ou diverge. Informações dadas e observações imediatas:
  • O termo geral é \displaystyle a_k=\frac{\sqrt[3]{k}}{\sqrt{k}+4k+3}.
  • Para todo k\ge1 cada parte é positiva, logo a_k>0 para todo k.
  • A pergunta é única: decidir convergência ou divergência da série.

Passo 2

Estratégia escolhida (explico por que): como os termos são positivos, um jeito padrão e eficiente é comparar com uma série conhecida (teste da comparação ou teste da comparação por limite). Para séries com potências de k o modelo natural é a p-série \sum k^{-p}. Vou usar o teste da comparação por limite (limit comparison test) com uma p-série apropriada, porque isso permite usar o comportamento assintótico do termo geral quando k\to\infty.

Passo 3

Pequena aula sobre p-séries (essencial para a comparação):
  • Uma p-série tem a forma \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{p}}=\sum_{k=1}^{\infty} k^{-p}.
  • Teorema (fato importante): a p-série converge se, e somente se, p>1. Se p\le1 diverge.
  • Intuição rápida: quando p é maior que 1 os termos decaem rápido o suficiente; quando p\le1 não decaem rápido o suficiente. (Uma demonstração formal pode usar o teste da integral, mas aqui vamos só usar o critério.)

Passo 4

Pequena aula sobre o teste da comparação por limite (limit comparison test):
  • Seja \{a_k\} e \{b_k\} duas sequências positivas. Se existe o limite finito e positivo
L=\lim_{k\to\infty}\frac{a_k}{b_k}\quad\text{com }0<L<\infty,
então as séries \sum a_k e \sum b_k têm o mesmo comportamento: ou ambas convergem ou ambas divergem.
  • Portanto, para aplicar, escolhemos uma b_k simples (a p-série) que tenha o mesmo decaimento assintótico de a_k.

Passo 5

Escolha de b_k usando o comportamento assintótico:
  • Para grandes k, o denominador \sqrt{k}+4k+3 é dominado pelo termo 4k (porque 4k cresce como k, muito mais rápido que \sqrt{k}=k^{1/2} e que a constante 3).
  • Assim heurística: \displaystyle a_k\sim\frac{k^{1/3}}{4k}=\frac{1}{4}k^{-2/3} quando k\to\infty.
  • Isso sugere comparar com a p-série \displaystyle \sum b_k onde
b_k = k^{-2/3}.
Aqui p=2/3<1, e portanto sabemos (pelo critério de p-séries do Passo 3) que \sum b_k diverge.

Passo 6

Cálculo do limite do teste da comparação por limite (fazer rigoroso):
  • Considere
\frac{a_k}{b_k}=\frac{\dfrac{\sqrt[3]{k}}{\sqrt{k}+4k+3}}{k^{-2/3}}.
  • Simplifico passo a passo: \sqrt[3]{k}=k^{1/3} e k^{-2/3} no denominador é multiplicar por k^{2/3}. Então
\frac{a_k}{b_k} = \frac{k^{1/3}}{\sqrt{k}+4k+3}\cdot k^{2/3} = \frac{k^{1/3+2/3}}{\sqrt{k}+4k+3} = \frac{k}{\sqrt{k}+4k+3}.
  • Agora divido numerador e denominador por k para facilitar o limite:
\frac{k}{\sqrt{k}+4k+3} = \frac{1}{k^{-1/2}+4+3/k}.
  • Tomando k\to\infty obtemos
\lim_{k\to\infty}\frac{a_k}{b_k} = \frac{1}{0+4+0} = \frac{1}{4}.
  • O limite existe, é finito e positivo: L=\dfrac{1}{4}\in(0,\infty). Portanto o teste da comparação por limite é aplicável.

Passo 7

Conclusão usando os resultados:
  • Como \sum b_k=\sum k^{-2/3} diverge (p-série com p=2/3\le1), e o limite \lim_{k\to\infty}a_k/b_k=\tfrac{1}{4} é positivo e finito, segue pelo teste da comparação por limite que \sum a_k tem o mesmo comportamento que \sum b_k.
  • Portanto a série dada diverge.

Resposta

A série diverge.

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