Determine se a série converge ou diverge.
\sum_{n \geq 2} \frac{n^{2}}{n^{4}-n}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n\ge 2} \frac{n^{2}}{n^{4}-n}
converge ou diverge. Informações relevantes fornecidas:
  • O termo geral da série é \displaystyle a_n=\frac{n^{2}}{n^{4}-n}.
  • Para n\ge 2 o denominador n^{4}-n=n(n^{3}-1) é positivo, portanto todos os termos a_n são positivos.
  • A pergunta é única: decidir convergência ou divergência da série de termos positivos acima.

Passo 2

Ideia de comparação com uma série conhecida: quando n é grande, o termo \dfrac{n^{2}}{n^{4}-n} tem comportamento parecido com \dfrac{1}{n^{2}} (porque o numerador tem ordem n^{2} e o denominador tem ordem n^{4}). A série \displaystyle\sum_{n\ge 2}\dfrac{1}{n^{2}} é uma p-série com expoente p=2, e sabe-se que p-séries convergem se, e só se, p>1. Logo \sum 1/n^{2} converge. Vou usar isso como referência para comparar.
Explicando a p-série (rápido e prático): a p-série é
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}}.
Se p>1 ela converge; se p\le 1 diverge. Aqui p=2>1, então \sum 1/n^{2} converge.

Passo 3

Vou usar o Teste da Comparação Limite (limit comparison test). Enunciado do teste (em palavras simples):
  • Se a_n>0 e b_n>0 para todo n e existe o limite finito e positivo
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n},\qquad 0<L<\infty,
então as duas séries \sum a_n e \sum b_n são simultaneamente convergentes ou simultaneamente divergentes.
Aqui tomo a_n=\dfrac{n^{2}}{n^{4}-n} e b_n=\dfrac{1}{n^{2}}.

Passo 4

Calcular o limite pedido pelo teste:
\frac{a_n}{b_n} = \frac{\dfrac{n^{2}}{n^{4}-n}}{\dfrac{1}{n^{2}}} = \frac{n^{2}\cdot n^{2}}{n^{4}-n} = \frac{n^{4}}{n^{4}-n}.
Agora simplifico dividindo numerador e denominador por n^{4}:
\frac{n^{4}}{n^{4}-n} = \frac{1}{1-\dfrac{1}{n^{3}}}.
Tomando n\to\infty obtemos
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{1-\dfrac{1}{n^{3}}} = \frac{1}{1-0}=1.
O limite L=1 é finito e positivo, portanto o Teste da Comparação Limite é aplicável.

Passo 5

Como \displaystyle\sum_{n\ge 2}\frac{1}{n^{2}} é convergente (p-série com p=2>1) e o limite da razão entre os termos das séries é 1 (estritamente positivo e finito), segue pelo Teste da Comparação Limite que a série
\sum_{n\ge 2}\frac{n^{2}}{n^{4}-n}
também converge.

Passo 6

(Aquilo que dá conforto na prova: uma comparação direta alternativa, opcional.)
Para n\ge 2 temos n^{4}-n \ge \dfrac{n^{4}}{2}. Justificativa rápida: n^{4}-n \ge n^{4}-\dfrac{n^{4}}{2} quando n^{3}\ge 2, o que vale para todo n\ge 2. Assim
a_n=\frac{n^{2}}{n^{4}-n} \le \frac{n^{2}}{n^{4}/2} = \frac{2}{n^{2}}.
Como \sum 2/n^{2}=2\sum 1/n^{2} converge, pelo Teste da Comparação direta a série original converge. Este caminho é uma verificação direta e elementar, útil em prova sem calcular limites.

Resposta

A série converge.

Exercícios relacionados