Determine se a série converge ou diverge.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge. Informações relevantes fornecidas:
- O termo geral da série é
. - Para
o denominador é positivo, portanto todos os termos são positivos. - A pergunta é única: decidir convergência ou divergência da série de termos positivos acima.
Passo 2
Ideia de comparação com uma série conhecida: quando
é grande, o termo
tem comportamento parecido com
(porque o numerador tem ordem
e o denominador tem ordem
). A série
é uma p-série com expoente
, e sabe-se que p-séries convergem se, e só se,
. Logo
converge. Vou usar isso como referência para comparar.
Explicando a p-série (rápido e prático): a p-série é
Se
ela converge; se
diverge. Aqui
, então
converge.
Passo 3
Vou usar o Teste da Comparação Limite (limit comparison test). Enunciado do teste (em palavras simples):
- Se
e para todo e existe o limite finito e positivo
então as duas séries
e
são simultaneamente convergentes ou simultaneamente divergentes.
Aqui tomo
e
.
Passo 4
Calcular o limite pedido pelo teste:
Agora simplifico dividindo numerador e denominador por
:
Tomando
obtemos
O limite
é finito e positivo, portanto o Teste da Comparação Limite é aplicável.
Passo 5
Como
é convergente (p-série com
) e o limite da razão entre os termos das séries é
(estritamente positivo e finito), segue pelo Teste da Comparação Limite que a série
também converge.
Passo 6
(Aquilo que dá conforto na prova: uma comparação direta alternativa, opcional.)
Para temos
. Justificativa rápida:
quando
, o que vale para todo
. Assim
Para
Como
converge, pelo Teste da Comparação direta a série original converge. Este caminho é uma verificação direta e elementar, útil em prova sem calcular limites.
Resposta
A série converge.