Determine se a série converge ou diverge. \sum_{n \geq 1} \frac{(-1)^{n}}{n^{3 / 4}}.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n\ge 1}\frac{(-1)^{n}}{n^{3/4}}
converge ou diverge. Informação dada: o termo geral é (-1)^{n} n^{-3/4}. A pergunta é única: verificar convergência (e, se possível, distinguir convergência absoluta ou condicional).
Passo 2
Vou explicar os critérios que vou usar (de forma bem direta e sem pressa).
Alternating Series Test (teste de Leibniz): para uma série alternada da forma \sum (-1)^{n} a_n (ou \sum (-1)^{n+1} a_n), com a_n>0, se
a_n é monotonicamente decrescente (isto é, a_{n+1}\le a_n para n suficientemente grande), e
\lim_{n\to\infty} a_n = 0,
então a série converge. Aqui a_n representa o módulo dos termos (a parte positiva).
Convergência absoluta: dizemos que a série \sum a_n converge absolutamente se a série dos módulos \sum |a_n| converge. Se a série original converge, mas \sum |a_n| diverge, chamamos isso de convergência condicional.
P-série: a série \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^{p}} converge se, e somente se, p>1. Se p\le 1 ela diverge. Esse é um critério padrão que usarei para testar a série dos módulos.
Passo 3
Identificar a_n e verificar as condições do teste de Leibniz. Aqui tomo
a_n=\frac{1}{n^{3/4}}.
Verificações:
Positividade: para todo n\ge1 tem-se a_n>0 porque n^{3/4}>0.
Limite: calcular \lim_{n\to\infty} a_n.
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^{3/4}}=0,
pois para potências positivas de n o inverso tende a zero. (Intuição: n^{3/4}\to\infty, então seu inverso vai a 0.)
Monotonicidade decrescente: mostrar que a_{n+1}<a_n. Use razão:
Isto é uma p-série com p=\tfrac{3}{4}. Pelo critério da p-série, como p=\tfrac{3}{4}\le 1, a série \sum 1/n^{3/4} diverge. (Uma justificativa rápida usando o teste da integral: \int_{1}^{\infty} x^{-3/4}\,dx = \left[\tfrac{4}{1} x^{1/4}\right]_1^\infty = \infty, logo a série diverge.)
Portanto a série dos módulos diverge, ou seja, a série não converge absolutamente.
Passo 6
Juntando os resultados: a série original converge (pelo teste de Leibniz) mas não converge absolutamente (pois a série dos módulos diverge). Na terminologia padrão isso significa que a série converge condicionalmente.
Resposta
Converge condicionalmente (a série converge, mas não converge absolutamente).