Encontre o intervalo de convergência das séries a seguir:
\sum_{n \geq 1} \frac{3^{n}}{4^{n}} x^{n}.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o intervalo de convergência da série
\sum_{n \geq 1} \frac{3^{n}}{4^{n}} x^{n}.
Informações fornecidas:
  • A soma é sobre n\ge 1.
  • O termo geral é \dfrac{3^{n}}{4^{n}} x^{n}.
  • A variável de interesse é x.
  • O objetivo é indicar para quais valores de x a série converge.

Passo 2

Reescrever o termo geral de forma mais clara. Observe que
\frac{3^{n}}{4^{n}} x^{n}=\left(\frac{3x}{4}\right)^{n}.
Isso mostra que a série é uma série geométrica do tipo \sum_{n\ge 1} r^{n} com razão
r=\frac{3x}{4}.
Mini-aula sobre séries geométricas: a série \sum_{n\ge 1} r^{n} tem soma parcial
S_N = r\frac{1-r^{N}}{1-r}\quad (r\neq 1).
Se |r|<1 então r^{N}\to 0 quando N\to\infty, logo a série converge e sua soma é
\sum_{n=1}^{\infty} r^{n}=\frac{r}{1-r}.
Se |r|\ge 1 a série diverge (ou porque os termos não tendem a zero, ou porque a soma parcial não se estabiliza).

Passo 3

Aplicar o critério da série geométrica ao nosso caso: é preciso ter
\left|\frac{3x}{4}\right|<1.
Resolver essa desigualdade. Como 4>0, podemos multiplicar ambos os lados por \dfrac{4}{3} sem mudar o sentido:
|x|<\frac{4}{3}.
Portanto, todos os x com |x|<\dfrac{4}{3} pertencem ao intervalo de convergência (a região interior ao raio de convergência).

Passo 4

Testar os pontos extremos x=\dfrac{4}{3} e x=-\dfrac{4}{3} (sempre é preciso verificar os extremos quando se determina um intervalo).
  • Para x=\dfrac{4}{3}:
\left(\frac{3x}{4}\right)^{n}=\left(\frac{3\cdot\frac{4}{3}}{4}\right)^{n}=1^{n}=1.
O termo geral não tende a zero (fica igual a 1), logo a série diverge (teste necessário de convergência: se uma série converge então seu termo geral tende a zero).
  • Para x=-\dfrac{4}{3}:
\left(\frac{3x}{4}\right)^{n}=\left(\frac{3\cdot\left(-\frac{4}{3}\right)}{4}\right)^{n}=(-1)^{n}.
O termo geral não tende a zero (oscila entre 1 e -1), então a série também diverge.

Passo 5

Conclusão: a série converge exatamente quando |x|<\dfrac{4}{3} e diverge para os extremos. O intervalo de convergência é, portanto, aberto.

Passo 6

Comentário final útil para a prova: dentro do intervalo de convergência a série soma para a função racional obtida pela soma da geométrica:
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{3x}{4}\right)^{n}=\frac{\tfrac{3x}{4}}{1-\tfrac{3x}{4}}=\frac{3x}{4-3x},
válida para |x|<\dfrac{4}{3}. Isso é opcional na prova, mas bom saber.

Resposta

\left(-\dfrac{4}{3},\dfrac{4}{3}\right)

Exercícios relacionados