Encontre o intervalo de convergência das séries a seguir:
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar o intervalo de convergência da série
Informações fornecidas:
- A soma é sobre
. - O termo geral é
. - A variável de interesse é
. - O objetivo é indicar para quais valores de
a série converge.
Passo 2
Reescrever o termo geral de forma mais clara. Observe que
Isso mostra que a série é uma série geométrica do tipo
com razão
Mini-aula sobre séries geométricas: a série
tem soma parcial
Se
então
quando
, logo a série converge e sua soma é
Se
a série diverge (ou porque os termos não tendem a zero, ou porque a soma parcial não se estabiliza).
Passo 3
Aplicar o critério da série geométrica ao nosso caso: é preciso ter
Resolver essa desigualdade. Como
, podemos multiplicar ambos os lados por
sem mudar o sentido:
Portanto, todos os
com
pertencem ao intervalo de convergência (a região interior ao raio de convergência).
Passo 4
Testar os pontos extremos
e
(sempre é preciso verificar os extremos quando se determina um intervalo).
- Para
:
O termo geral não tende a zero (fica igual a
), logo a série diverge (teste necessário de convergência: se uma série converge então seu termo geral tende a zero).
- Para
:
O termo geral não tende a zero (oscila entre
e
), então a série também diverge.
Passo 5
Conclusão: a série converge exatamente quando
e diverge para os extremos. O intervalo de convergência é, portanto, aberto.
Passo 6
Comentário final útil para a prova: dentro do intervalo de convergência a série soma para a função racional obtida pela soma da geométrica:
válida para
. Isso é opcional na prova, mas bom saber.