Determine se a série converge ou diverge.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge. Informações dadas e observações iniciais (todas extraídas do enunciado):
- O termo geral da série é
. - Para todo
temos (produto de termos positivos). - Não há outras hipóteses ou imagens; a série é de termos positivos e envolve uma potência polinomial multiplicada por
.
Passo 2
Escolha do teste e enunciado do critério que vou usar (explicado didaticamente).
Vou aplicar o critério da razão (teste da razão) porque temos termos positivos e um fator exponencial — o teste da razão costuma ser direto nesses casos.
Vou aplicar o critério da razão (teste da razão) porque temos termos positivos e um fator exponencial
Enunciado do critério da razão (forma prática):
- Para uma série com termos positivos
, calcule
- Se
então a série converge; se então diverge; se o teste é inconclusivo.
Aqui
está bem definido, então vou calcular
e seu limite quando
.
Passo 3
Escrever explicitamente a razão
e simplificar passo a passo.
Começando de
Logo
Agora simplifico a razão polinomial dentro do parêntese:
portanto
Passo 4
Calcular o limite quando
da razão obtida.
Reescrevo a fração dividindo numerador e denominador por
:
Quando
temos
e
e
. Assim
Voltando à razão completa:
Como
e
, obtemos
.
Passo 5
Interpretação pelo critério da razão (explicada): o critério da razão diz que se
então a série de termos positivos converge. Aqui encontramos
, portanto a série passa no teste da razão e é convergente.
Dica intuitiva (para ajudar na prova): para grandes
o fator
cresce como uma potência polinomial em
(aproximadamente
), mas
decai exponencialmente. Exponenciais decrescentes dominam polinômios crescentes, por isso termos do tipo
tendem a zero muito rapidamente e as séries associadas costumam convergir. O cálculo formal acima (critério da razão) torna isso rigoroso.
Resposta
A série converge (convergência absoluta).