Determine se a série converge ou diverge.
\sum_{n \geq 1}\left(1+n^{2}\right)^{4} e^{-n}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n\ge 1}\left(1+n^{2}\right)^{4}e^{-n}
converge ou diverge. Informações dadas e observações iniciais (todas extraídas do enunciado):
  • O termo geral da série é a_n=\left(1+n^{2}\right)^{4}e^{-n}.
  • Para todo n\ge1 temos a_n>0 (produto de termos positivos).
  • Não há outras hipóteses ou imagens; a série é de termos positivos e envolve uma potência polinomial multiplicada por e^{-n}.

Passo 2

Escolha do teste e enunciado do critério que vou usar (explicado didaticamente).
Vou aplicar o critério da razão (teste da razão) porque temos termos positivos e um fator exponencial e^{-n} — o teste da razão costuma ser direto nesses casos.
Enunciado do critério da razão (forma prática):
  • Para uma série com termos positivos a_n, calcule
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}.
  • Se L<1 então a série converge; se L>1 então diverge; se L=1 o teste é inconclusivo.
Aqui a_n está bem definido, então vou calcular \dfrac{a_{n+1}}{a_n} e seu limite quando n\to\infty.

Passo 3

Escrever explicitamente a razão \dfrac{a_{n+1}}{a_n} e simplificar passo a passo.
Começando de
a_n=\left(1+n^{2}\right)^{4}e^{-n}, \qquad a_{n+1}=\left(1+(n+1)^{2}\right)^{4}e^{-(n+1)}.
Logo
\frac{a_{n+1}}{a_n} =\frac{\left(1+(n+1)^{2}\right)^{4}e^{-(n+1)}}{\left(1+n^{2}\right)^{4}e^{-n}} =\left(\frac{1+(n+1)^{2}}{1+n^{2}}\right)^{4}e^{-1}.
Agora simplifico a razão polinomial dentro do parêntese:
1+(n+1)^{2}=1+(n^{2}+2n+1)=n^{2}+2n+2, \qquad 1+n^{2}=n^{2}+1,
portanto
\frac{1+(n+1)^{2}}{1+n^{2}}=\frac{n^{2}+2n+2}{n^{2}+1}.

Passo 4

Calcular o limite quando n\to\infty da razão obtida.
Reescrevo a fração dividindo numerador e denominador por n^{2}:
\frac{n^{2}+2n+2}{n^{2}+1} =\frac{1+\dfrac{2}{n}+\dfrac{2}{n^{2}}}{1+\dfrac{1}{n^{2}}}.
Quando n\to\infty temos \dfrac{2}{n}\to0 e \dfrac{2}{n^{2}}\to0 e \dfrac{1}{n^{2}}\to0. Assim
\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}+2n+2}{n^{2}+1}=1.
Voltando à razão completa:
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} =\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n^{2}+2n+2}{n^{2}+1}\right)^{4}e^{-1} =\left(\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}+2n+2}{n^{2}+1}\right)^{4}e^{-1} =1^{4}e^{-1}=e^{-1}.
Como e^{-1}=\dfrac{1}{e} e 0<\dfrac{1}{e}<1, obtemos L=e^{-1}<1.

Passo 5

Interpretação pelo critério da razão (explicada): o critério da razão diz que se L<1 então a série de termos positivos converge. Aqui encontramos L=e^{-1}<1, portanto a série passa no teste da razão e é convergente.
Dica intuitiva (para ajudar na prova): para grandes n o fator \left(1+n^{2}\right)^{4} cresce como uma potência polinomial em n (aproximadamente n^{8}), mas e^{-n} decai exponencialmente. Exponenciais decrescentes dominam polinômios crescentes, por isso termos do tipo n^{k}e^{-n} tendem a zero muito rapidamente e as séries associadas costumam convergir. O cálculo formal acima (critério da razão) torna isso rigoroso.

Resposta

A série converge (convergência absoluta).

Exercícios relacionados