Determine se a série converge ou diverge.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3+\cos n}{3^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3+\cos n}{3^{n}}
converge ou diverge. Informações dadas que vamos usar:
  • O termo geral da série é \dfrac{3+\cos n}{3^{n}}.
  • O numerador envolve \cos n, que oscila com n.
  • A base da potência no denominador é 3, ou seja, cresce exponencialmente com n.

Passo 2

Primeiro vamos lembrar um fato simples sobre o cosseno que é útil para comparar termos: para todo n vale
-1 \le \cos n \le 1.
Somando 3 em todos os membros dessa desigualdade obtemos
2 \le 3+\cos n \le 4.
Isto nos dá limites fáceis para o numerador que servem para comparar a série com séries mais simples.

Passo 3

Vamos usar comparação com uma série geométrica. Do resultado do passo anterior segue que, para todo n,
\left|\frac{3+\cos n}{3^{n}}\right| \le \frac{4}{3^{n}}.
Agora recordando a fórmula da série geométrica: para um número real r com |r|<1 vale
\sum_{n=1}^{\infty} r^{n}=\frac{r}{1-r}.
Aqui tomamos r=\dfrac{1}{3} (que satisfaz |r|<1), portanto
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^{n}}=\frac{1/3}{1-1/3}=\frac{1}{2}.
Multiplicando por 4 obtemos a série comparadora:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4}{3^{n}}=4\cdot\frac{1}{2}=2<\infty.
Como \left|\dfrac{3+\cos n}{3^{n}}\right|\le\dfrac{4}{3^{n}} e a série à direita converge, pela comparação direta concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{3+\cos n}{3^{n}}\right|
converge.

Passo 4

Quando a série dos módulos converge dizemos que a série original converge absolutamente. Ou seja, a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3+\cos n}{3^{n}}
converge absolutamente e, em particular, converge.

Passo 5

(Um bônus: calcular a soma exata, caso queira ver o valor.) Podemos separar a série em duas:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3+\cos n}{3^{n}} =3\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^{n}}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos n}{3^{n}}.
Já sabemos que \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{3^{n}}=\dfrac{1}{2}, então a primeira parcela é \dfrac{3}{2}.
Para a segunda parcela, é prático usar números complexos: lembrando que \cos n=\Re(e^{in}),
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos n}{3^{n}}=\Re\left(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{e^{in}}{3^{n}}\right) =\Re\left(\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{e^{i}}{3}\right)^{n}\right).
Como \left|\dfrac{e^{i}}{3}\right|=\dfrac{1}{3}<1, a soma geométrica vale
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{e^{i}}{3}\right)^{n}=\frac{e^{i}/3}{1-e^{i}/3}=\frac{e^{i}}{3-e^{i}}.
Tomando a parte real e racionalizando o denominador (multiplicando por 3-e^{-i}) obtemos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos n}{3^{n}}=\frac{3\cos 1-1}{10-6\cos 1}.
Portanto a soma total é
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3+\cos n}{3^{n}}=\frac{3}{2}+\frac{3\cos 1-1}{10-6\cos 1}.

Resposta

A série converge absolutamente (logo converge).

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