Determine se a série converge ou diverge.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge. Informações dadas que vamos usar:
- O termo geral da série é
. - O numerador envolve
, que oscila com . - A base da potência no denominador é
, ou seja, cresce exponencialmente com .
Passo 2
Primeiro vamos lembrar um fato simples sobre o cosseno que é útil para comparar termos: para todo
vale
Somando 3 em todos os membros dessa desigualdade obtemos
Isto nos dá limites fáceis para o numerador que servem para comparar a série com séries mais simples.
Passo 3
Vamos usar comparação com uma série geométrica. Do resultado do passo anterior segue que, para todo
,
Agora recordando a fórmula da série geométrica: para um número real
com
vale
Aqui tomamos
(que satisfaz
), portanto
Multiplicando por
obtemos a série comparadora:
Como
e a série à direita converge, pela comparação direta concluímos que
converge.
Passo 4
Quando a série dos módulos converge dizemos que a série original converge absolutamente. Ou seja, a série
converge absolutamente e, em particular, converge.
Passo 5
(Um bônus: calcular a soma exata, caso queira ver o valor.) Podemos separar a série em duas:
Já sabemos que
, então a primeira parcela é
.
Para a segunda parcela, é prático usar números complexos: lembrando que
,
Como
, a soma geométrica vale
Tomando a parte real e racionalizando o denominador (multiplicando por
) obtemos
Portanto a soma total é
Resposta
A série converge absolutamente (logo converge).