Nos itens a seguir, determine
por derivação implícita.
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede para determinar
por derivação implícita.
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- A incógnita dependente é
, que é função de (ou seja, ). - A expressão envolve produtos (como
e ) e exponenciais compostas (como e ). - O objetivo final é isolar
.
Passo 2
Relembrando as regras que vamos usar (rápido e objetivo):
- Regra do produto: para duas funções
e ,
- Regra da cadeia para exponencial: se
é função, então
- Derivada de uma constante (como
) é . - Ao derivar termos que contêm
, usar para .
Passo 3
Aplicar
em ambos os lados da equação. Escrevendo:
Passo 4
Derivando o primeiro termo
usando a regra do produto:
-
com . -
com (pela regra da cadeia).
Logo,
Passo 5
Derivando o segundo termo
usando a regra do produto:
-
com . -
com (a derivada de é ).
Portanto,
Passo 6
Juntando os resultados das derivadas e lembrando que
, obtemos:
Passo 7
Agrupar os termos que contêm
à esquerda e os demais à direita (ou escrevê-los explicitamente):
Isolando o termo com
: