Nos itens a seguir, determine \frac{d y}{d x} por derivação implícita.
y e^{2 x}+x e^{2 y}=1

Passo 1

O enunciado dá a equação
y e^{2x} + x e^{2y} = 1
e pede para determinar \dfrac{d y}{d x} por derivação implícita.
Informações relevantes:
  • A incógnita dependente é y, que é função de x (ou seja, y=y(x)).
  • A expressão envolve produtos (como y e^{2x} e x e^{2y}) e exponenciais compostas (como e^{2x} e e^{2y}).
  • O objetivo final é isolar \dfrac{d y}{d x}.

Passo 2

Relembrando as regras que vamos usar (rápido e objetivo):
  • Regra do produto: para duas funções u(x) e v(x),
\frac{d}{dx}\bigl(u v\bigr)=u'\,v + u\,v'.
  • Regra da cadeia para exponencial: se u(x) é função, então
\frac{d}{dx} e^{u(x)} = e^{u(x)}\cdot u'(x).
  • Derivada de uma constante (como 1) é 0.
  • Ao derivar termos que contêm y, usar \dfrac{d y}{d x} para y'(x).

Passo 3

Aplicar \dfrac{d}{dx} em ambos os lados da equação. Escrevendo:
\frac{d}{dx}\bigl(y e^{2x}\bigr) + \frac{d}{dx}\bigl(x e^{2y}\bigr) = \frac{d}{dx}(1).

Passo 4

Derivando o primeiro termo \dfrac{d}{dx}\bigl(y e^{2x}\bigr) usando a regra do produto:
  • u=y com u'=\dfrac{d y}{d x}.
  • v=e^{2x} com v'=e^{2x}\cdot 2 (pela regra da cadeia).
    Logo,
\frac{d}{dx}\bigl(y e^{2x}\bigr)=\frac{d y}{d x}\,e^{2x} + y\cdot\bigl(2 e^{2x}\bigr).

Passo 5

Derivando o segundo termo \dfrac{d}{dx}\bigl(x e^{2y}\bigr) usando a regra do produto:
  • u=x com u'=1.
  • v=e^{2y} com v'=e^{2y}\cdot 2\cdot \dfrac{d y}{d x} (a derivada de 2y é 2\dfrac{d y}{d x}).
    Portanto,
\frac{d}{dx}\bigl(x e^{2y}\bigr)=1\cdot e^{2y} + x\cdot\bigl(2 e^{2y}\cdot \frac{d y}{d x}\bigr) = e^{2y} + 2x e^{2y}\frac{d y}{d x}.

Passo 6

Juntando os resultados das derivadas e lembrando que \dfrac{d}{dx}(1)=0, obtemos:
\frac{d y}{d x}\,e^{2x} + 2y e^{2x} + e^{2y} + 2x e^{2y}\frac{d y}{d x} = 0.

Passo 7

Agrupar os termos que contêm \dfrac{d y}{d x} à esquerda e os demais à direita (ou escrevê-los explicitamente):
\bigl(e^{2x} + 2x e^{2y}\bigr)\frac{d y}{d x} + \bigl(2y e^{2x} + e^{2y}\bigr) = 0.
Isolando o termo com \dfrac{d y}{d x}:
\bigl(e^{2x} + 2x e^{2y}\bigr)\frac{d y}{d x} = -\bigl(2y e^{2x} + e^{2y}\bigr).

Resposta

\frac{d y}{d x} = -\frac{2y e^{2x} + e^{2y}}{e^{2x} + 2x e^{2y}}

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