Determine se a série converge ou diverge.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{3^{n}}{2^{2}+3^{n}};

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{3^{n}}{2^{2}+3^{n}}
converge ou diverge. Para isso, vamos usar a condição necessária para convergência de séries: se \sum a_n converge, então \lim_{n\to\infty}a_n=0.

Passo 2

Calcular o limite do termo geral
a_n = \frac{3^{n}}{4 + 3^{n}}.
Dividindo numerador e denominador por 3^n, obtemos
\lim_{n\to\infty}a_n = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{4\cdot 3^{-n} + 1} = \frac{1}{0 + 1} = 1.

Passo 3

Como \lim_{n\to\infty}a_n = 1 \neq 0, a condição necessária para convergência de uma série não se satisfaz. Logo, a série diverge.

Resposta

A série diverge.

Exercícios relacionados