Questão 10. Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergenge.
\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1} \frac{3 n^{2}+4}{2 n^{2}+3 n+5};

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1}\frac{3n^{2}+4}{2n^{2}+3n+5}
e pede que a classifiquemos como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, usaremos o teste da divergência (termo geral) e o teste de convergência absoluta.

Passo 2

Analisamos o limite do termo geral positivo
b_{n}=\frac{3n^{2}+4}{2n^{2}+3n+5}.
Calculamos
\lim_{n\to\infty}b_{n} =\lim_{n\to\infty}\frac{3n^{2}+4}{2n^{2}+3n+5} =\frac{3}{2}\neq0.
Como \lim_{n\to\infty}(-1)^{n-1}b_{n} também não é zero, pelo teste da divergência a série não converge.

Passo 3

Para a convergência absoluta, consideramos
\sum_{n=1}^{\infty}\bigl|(-1)^{n-1}b_{n}\bigr| =\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}.
Como b_{n}\to\frac32\neq0, falta a condição \lim_{n\to\infty}b_{n}=0, logo essa série absoluta também diverge.

Resposta

A série é divergente.

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