Questão 10. Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergenge.
\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1} \frac{1}{2 n^{2}+3 n+5};

Passo 1

O enunciado pede a classificação da série
\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{2n^{2}+3n+5}
ou seja, determinar se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

Passo 2

Para verificar a convergência absoluta, consideramos a série de termos positivos
\sum_{n=1}^{+\infty}\left|\;(-1)^{n-1}\frac{1}{2n^{2}+3n+5}\right| =\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{2n^{2}+3n+5}.
Compararemos com a série \sum1/n^{2}, que sabemos ser convergente (série p com p=2>1).

Passo 3

Usamos o Teste da Comparação Limite. Definimos
a_{n}=\frac{1}{2n^{2}+3n+5} \quad\text{e}\quad b_{n}=\frac{1}{n^{2}}.
Calculamos
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{1/(2n^{2}+3n+5)}{1/n^{2}} =\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}}{2n^{2}+3n+5} =\frac{1}{2}.
Como este limite é um número finito e positivo, a convergência de \sum b_{n} implica a de \sum a_{n}. Logo
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{2n^{2}+3n+5}
converge.

Passo 4

Concluímos que a série original converge absolutamente. Sabendo que a convergência absoluta implica convergência (e não há possibilidade de divergência ou convergência condicional), nossa classificação final é:

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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