Determine se a série converge ou diverge:
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{7}{n(n+1)}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{7}{n(n+1)}
e pede para determinar se ela converge ou diverge. Informações dadas que vamos usar:
  • A soma começa em n=2.
  • O termo geral é \dfrac{7}{n(n+1)}.
O que se precisa responder:
  • A série converge ou diverge?
  • Se converge, qual é o valor (a soma) da série?

Passo 2

Escolha do método (explicando por que): uma série com termos racional-fractionais do tipo \dfrac{1}{n(n+1)} costuma admitir decomposição em frações parciais do tipo \dfrac{A}{n}+\dfrac{B}{n+1}. Isso frequentemente produz cancelamentos sucessivos quando somamos os termos (série telescópica). Telescopagem é um método muito direto e simples aqui, então vou usá-lo.
Breve aula sobre telescopagem e somas parciais:
  • Uma série \sum_{n=2}^{\infty} a_n converge se a sequência das somas parciais S_N=\sum_{n=2}^{N} a_ntem limite finito quando N\to\infty.
  • Se a_n pode ser escrita como b_n-b_{n+1}, então S_N=(b_2-b_3)+(b_3-b_4)+\cdots+(b_N-b_{N+1})=b_2-b_{N+1},e o cancelamento intermediário facilita calcular o limite quando N\to\infty.

Passo 3

Fazer a decomposição em frações parciais do termo geral. Procuramos constantes A\) e \(B\) tais que, para todo \(n\ge2\), \[\frac{7}{n(n+1)}=\frac{A}{n}+\frac{B}{n+1}.
Colocando em denominador comum:
\frac{7}{n(n+1)}=\frac{A(n+1)+Bn}{n(n+1)}.
Assim, devemos ter, identidade de polinômios em n:
7 = A(n+1)+Bn = (A+B)n + A.
Comparando coeficientes do polinômio à direita com o número constante 7 (que é 0\cdot n + 7), obtemos o sistema
\begin{cases} A+B=0,\\[4pt] A=7. \end{cases}
Da segunda equação vem A=7\]. Então da primeira \(B=-A=-7.
Portanto
\frac{7}{n(n+1)}=\frac{7}{n}-\frac{7}{n+1}.]

Passo 4

Escrever a série como série telescópica usando a decomposição encontrada:
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{7}{n(n+1)}=\sum_{n=2}^{\infty}\left(\frac{7}{n}-\frac{7}{n+1}\right).
Agora calculamos a soma parcial S_N (soma dos primeiros N-1 termos, já que iniciamos em n=2):
S_N=\sum_{n=2}^{N}\left(\frac{7}{n}-\frac{7}{n+1}\right).

Passo 5

Mostrar o cancelamento explícito nas somas parciais. Escrevendo alguns termos:
S_N=\left(\frac{7}{2}-\frac{7}{3}\right)+\left(\frac{7}{3}-\frac{7}{4}\right)+\left(\frac{7}{4}-\frac{7}{5}\right)+\cdots+\left(\frac{7}{N}-\frac{7}{N+1}\right).
Observe que muitos termos se cancelam: -\frac{7}{3} cancela com +\frac{7}{3}, -\frac{7}{4} com +\frac{7}{4}, e assim por diante. Após o cancelamento restam apenas os extremos:
S_N=\frac{7}{2}-\frac{7}{N+1}.

Passo 6

Tomar o limite quando N\to\infty para decidir convergência e obter a soma:
\lim_{N\to\infty} S_N=\lim_{N\to\infty}\left(\frac{7}{2}-\frac{7}{N+1}\right)=\frac{7}{2}-0=\frac{7}{2}.
Como o limite das somas parciais existe e é finito, a série converge e sua soma é \dfrac{7}{2}.
Comentário didático rápido (opcional): outra maneira de ver a convergência é comparar assintoticamente o termo \dfrac{7}{n(n+1)} com \dfrac{7}{n^2}. Como \sum \dfrac{1}{n^2} converge, isso também indica convergência (teste da comparação), mas a decomposição em frações parciais dá além da convergência a soma exata.

Resposta

A série converge e \displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{7}{n(n+1)}=\frac{7}{2}.

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