Determine se a série converge ou diverge:
Passo 1
O enunciado dá a série
e pede para determinar se ela converge ou diverge. Informações dadas que vamos usar:
- A soma começa em
. - O termo geral é
.
O que se precisa responder:
- A série converge ou diverge?
- Se converge, qual é o valor (a soma) da série?
Passo 2
Escolha do método (explicando por que): uma série com termos racional-fractionais do tipo
costuma admitir decomposição em frações parciais do tipo
. Isso frequentemente produz cancelamentos sucessivos quando somamos os termos (série telescópica). Telescopagem é um método muito direto e simples aqui, então vou usá-lo.
Breve aula sobre telescopagem e somas parciais:
- Uma série
converge se a sequência das somas parciais tem limite finito quando . - Se
pode ser escrita como , então e o cancelamento intermediário facilita calcular o limite quando .
Passo 3
Fazer a decomposição em frações parciais do termo geral. Procuramos constantes
Colocando em denominador comum:
Assim, devemos ter, identidade de polinômios em
:
Comparando coeficientes do polinômio à direita com o número constante
(que é
), obtemos o sistema
Da segunda equação vem
.
Portanto
Passo 4
Escrever a série como série telescópica usando a decomposição encontrada:
Agora calculamos a soma parcial
(soma dos primeiros
termos, já que iniciamos em
):
Passo 5
Mostrar o cancelamento explícito nas somas parciais. Escrevendo alguns termos:
Observe que muitos termos se cancelam:
cancela com
,
com
, e assim por diante. Após o cancelamento restam apenas os extremos:
Passo 6
Tomar o limite quando
para decidir convergência e obter a soma:
Como o limite das somas parciais existe e é finito, a série converge e sua soma é
.
Comentário didático rápido (opcional): outra maneira de ver a convergência é comparar assintoticamente o termo
com
. Como
converge, isso também indica convergência (teste da comparação), mas a decomposição em frações parciais dá além da convergência a soma exata.
Resposta
A série converge e
.