Determine se a série converge ou diverge:
;
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge. Informações dadas:
- O termo geral da série é
. - A soma é feita para
variando de até .
O objetivo único é decidir convergência ou divergência dessa série.
Passo 2
Vamos olhar o comportamento do termo geral quando
. Primeiro expando o quadrado para ver melhor:
Passo 3
Calculo o limite do termo geral:
Logo
.
Passo 4
Lembrete importante (teste necessário para convergência): se uma série
converge, então o termo geral
deve tender a
quando
. Em palavras simples: se os termos não vão a
, somá-los indefinidamente não pode dar um número finito.
Passo 5
Aplicando esse teste ao nosso caso: como
, a condição necessária para a convergência não é satisfeita. Portanto a série não pode convergir — ela diverge.
Uma observação alternativa e intuitiva: para todo
vale
. Assim os termos da série são maiores que
e os somatórios parciais crescem sem limite (são pelo menos somas de muitos
), o que também mostra que a série diverge para
.
Resposta
Diverge