Determine se a série converge ou diverge:
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n^{2}}+1\right)^{2};

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n^{2}}+1\right)^{2}
converge ou diverge. Informações dadas:
  • O termo geral da série é a_n=\left(\dfrac{1}{n^{2}}+1\right)^{2}.
  • A soma é feita para n variando de 1 até +\infty.
    O objetivo único é decidir convergência ou divergência dessa série.

Passo 2

Vamos olhar o comportamento do termo geral quando n\to\infty. Primeiro expando o quadrado para ver melhor:
a_n=\left(\frac{1}{n^{2}}+1\right)^{2}=1+\frac{2}{n^{2}}+\frac{1}{n^{4}}.

Passo 3

Calculo o limite do termo geral:
\lim_{n\to\infty} a_n=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{2}{n^{2}}+\frac{1}{n^{4}}\right)=1+0+0=1.
Logo \lim_{n\to\infty} a_n=1.

Passo 4

Lembrete importante (teste necessário para convergência): se uma série \sum a_n converge, então o termo geral a_n deve tender a 0 quando n\to\infty. Em palavras simples: se os termos não vão a 0, somá-los indefinidamente não pode dar um número finito.

Passo 5

Aplicando esse teste ao nosso caso: como \lim_{n\to\infty} a_n=1\neq 0, a condição necessária para a convergência não é satisfeita. Portanto a série não pode convergir — ela diverge.
Uma observação alternativa e intuitiva: para todo n\ge 1 vale a_n=\left(1+\dfrac{1}{n^{2}}\right)^{2}>1. Assim os termos da série são maiores que 1 e os somatórios parciais crescem sem limite (são pelo menos somas de muitos 1), o que também mostra que a série diverge para +\infty.

Resposta

Diverge

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