Determine se a série converge ou diverge:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{7+2 n};

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{7+2n}
converge ou diverge. Informações fornecidas:
  • O termo geral é \dfrac{(-1)^{n-1}}{7+2n}.
  • Os termos alternam de sinal por causa do fator (-1)^{n-1}.
    As perguntas implícitas que devemos responder:
  • A série converge ou diverge?
  • Se converge, converge absolutamente ou condicionalmente?

Passo 2

Observação sobre formato e estratégia (sem resolver ainda): a série tem sinais alternados; um método padrão para séries alternadas é o Teste de Leibniz (teste da série alternante). Além disso, para verificar convergência absoluta, devemos analisar a série dos valores absolutos
\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n-1}}{7+2n}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{7+2n}.
Vou aplicar primeiro o Teste de Leibniz para ver se a série original converge, e depois checar se converge absolutamente usando um teste de comparação (por exemplo, comparação-limite com \sum 1/n).

Passo 3

Preparar os requisitos do Teste de Leibniz. Escrevo a parte positiva do termo geral como
b_n=\frac{1}{7+2n},
que é a sequência dos módulos dos termos. O Teste de Leibniz afirma: se (b_n) satisfaz
  1. b_n\ge 0 para todo n,
  2. b_{n+1}\le b_n (sequência não crescente a partir de algum N),
  3. \lim_{n\to\infty} b_n=0,
    então a série alternada \sum (-1)^{n-1} b_n converge. Vou verificar cada condição para b_n.

Passo 4

Verificação das condições do Teste de Leibniz:
  1. Claramente b_n=\dfrac{1}{7+2n}>0 para todo n.
  2. Mostrar que b_{n+1}\le b_n. Note que
7+2(n+1)=7+2n+2>7+2n,
portanto os denominadores aumentam com n; então as recíprocas diminuem, isto é,
b_{n+1}=\frac{1}{7+2(n+1)}<\frac{1}{7+2n}=b_n.
Assim (b_n) é estritamente decrescente.
3) Calcular o limite:
\lim_{n\to\infty} b_n=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{7+2n}=0,
pois o denominador cresce sem limite. Todas as condições do Teste de Leibniz estão satisfeitas.

Passo 5

Aplicando o Teste de Leibniz: como b_n\ge0, b_n é decrescente e b_n\to0, a série alternada
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{7+2n}
converge. Isso nos dá convergência (pelo menos) condicional; falta verificar a convergência absoluta.

Passo 6

Verificação de convergência absoluta. Considero a série dos módulos:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{7+2n}.
Para decidir convergência uso o teste da comparação limite com a série harmônica \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n}, que diverge. Calculo o limite
\lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac{1}{7+2n}}{\dfrac{1}{n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{n}{7+2n}.
Faço a simplificação:
\frac{n}{7+2n}=\frac{1}{\tfrac{7}{n}+2}\xrightarrow{n\to\infty}\frac{1}{0+2}=\frac{1}{2}.
O limite é um número finito e positivo ( \tfrac{1}{2}). Pelo teste da comparação-limite (limit comparison test), a série \sum 1/(7+2n) tem o mesmo comportamento que \sum 1/n. Como a série harmônica \sum 1/n diverge, segue que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{7+2n}
também diverge. Portanto a série original não converge absolutamente.

Passo 7

Conclusão final: a série alternada converge (pelo Teste de Leibniz), mas a série dos módulos diverge (pela comparação-limite com a harmônica). Logo a série converge condicionalmente — isto é, converge, porém não converge absolutamente.

Resposta

A série converge condicionalmente (converge, mas não converge absolutamente).

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