Escreva os números abaixo como uma série infinita e como um número racional.
0,213434343 \ldots;

Passo 1

O enunciado pede para escrever o número decimal periódico 0,213434343\ldots como uma série infinita e também como um número racional. O conteúdo envolvido é a representação de decimais repetidos por séries geométricas e a conversão em fração.

Passo 2

Para montar a série infinita, observe que as duas primeiras casas decimais são fixas (“21”) e a partir da terceira começa o bloco “34” que se repete. Logo
0,213434343\ldots =\frac{21}{10^2} +\sum_{k=1}^{\infty}\frac{34}{10^{2+2k}}.

Passo 3

Reconhecemos a soma \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}34\cdot10^{-(2+2k)} como uma série geométrica de primeiro termo
a=\frac{34}{10^4}
e razão
r=\frac{1}{10^2}\,.
Sua soma é
\sum_{k=1}^{\infty}34\cdot10^{-(2+2k)} =\frac{\frac{34}{10^4}}{1-\frac{1}{10^2}} =\frac{34}{10^4}\cdot\frac{100}{99} =\frac{34\cdot100}{10^4\cdot99} =\frac{34}{9900}.

Passo 4

Somando a parte não periódica \tfrac{21}{10^2}=\tfrac{21}{100} com a parte periódica \tfrac{34}{9900}, obtemos
0,213434343\ldots =\frac{21}{100}+\frac{34}{9900} =\frac{21\cdot99 + 34}{9900} =\frac{2079+34}{9900} =\frac{2113}{9900}.

Resposta

Série infinita:
0,213434343\ldots =\frac{21}{10^2} +\sum_{k=1}^{\infty}\frac{34}{10^{2+2k}}.
Número racional:
\frac{2113}{9900}.

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