Determine se a série converge ou diverge:
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a série
converge ou diverge. Informações dadas e observações iniciais:
- O termo geral é
. - A soma começa em
. - Todos os termos são positivos:
para todo .
A pergunta é única: determinar convergência ou divergência da série.
Passo 2
Breve lembrete útil (fórmula e ideia que vamos usar).
- A série harmônica-p conhecida como série-p é
Ela converge se, e somente se,
(por exemplo,
converge).
- Teste de comparação direta (forma básica): se
para todo a partir de algum índice e converge, então também converge.
Vamos compararcom uma série-p do tipo , já que o expoente no denominador é .
Passo 3
Estabelecer uma desigualdade entre
e um múltiplo de
.
Para vale
Para
então, elevando ao quadrado (monótono para não-negativos),
Tomando recíprocos (a desigualdade inverte porque recíproco é decrescente em positivos),
Assim, para todo
temos
.
Passo 4
Aplicando o teste de comparação direta:
- A série
é uma série-p com , logo converge. - Multiplicar uma série convergente por uma constante positiva não altera a convergência; assim
também converge. - Como
para todo e a série do lado direito converge, a série original satisfaz as hipóteses do teste de comparação direta.
Resposta
Converge