Determine se a série converge ou diverge:
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(2 n+7)^{2}};

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(2n+7)^{2}}
converge ou diverge. Informações dadas e observações iniciais:
  • O termo geral é a_n=\dfrac{1}{(2n+7)^{2}}.
  • A soma começa em n=2.
  • Todos os termos são positivos: a_n>0 para todo n\ge2.
    A pergunta é única: determinar convergência ou divergência da série.

Passo 2

Breve lembrete útil (fórmula e ideia que vamos usar).
  • A série harmônica-p conhecida como série-p é
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}}.
Ela converge se, e somente se, p>1 (por exemplo, \sum 1/n^{2} converge).
  • Teste de comparação direta (forma básica): se 0\le a_n\le b_n para todo n a partir de algum índice e \sum b_n converge, então \sum a_n também converge.
    Vamos comparar a_n com uma série-p do tipo \dfrac{1}{n^{2}}, já que o expoente no denominador é 2.

Passo 3

Estabelecer uma desigualdade entre \dfrac{1}{(2n+7)^{2}} e um múltiplo de \dfrac{1}{n^{2}}.
Para n\ge2 vale
2n+7 \ge 2n,
então, elevando ao quadrado (monótono para não-negativos),
(2n+7)^{2} \ge (2n)^{2} = 4n^{2}.
Tomando recíprocos (a desigualdade inverte porque recíproco é decrescente em positivos),
\frac{1}{(2n+7)^{2}} \le \frac{1}{4n^{2}} = \frac{1}{4}\cdot\frac{1}{n^{2}}.
Assim, para todo n\ge2 temos 0\le a_n \le \dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{1}{n^{2}}.

Passo 4

Aplicando o teste de comparação direta:
  • A série \sum_{n=2}^{\infty}\dfrac{1}{n^{2}} é uma série-p com p=2>1, logo converge.
  • Multiplicar uma série convergente por uma constante positiva não altera a convergência; assim \sum_{n=2}^{\infty}\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{1}{n^{2}} também converge.
  • Como 0\le a_n \le \dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{1}{n^{2}} para todo n\ge2 e a série do lado direito converge, a série original satisfaz as hipóteses do teste de comparação direta.

Resposta

Converge

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