Determine se a série converge ou diverge.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge. Informações dadas:
- Termo geral:
para . - Índice de soma começa em
e vai até infinito.
O que é pedido: decidir convergência/ diver gência da série e, se convergir, achar a soma.
Passo 2
Reescrevendo o termo de forma mais sugestiva: cada termo é
Isso é uma série geométrica (os termos são de forma constante vezes uma potência): a forma geral que usamos é, por exemplo,
onde
é uma constante multiplicativa e
é a razão comum entre termos sucessivos. Aqui identificamos:
-
(fator multiplicativo), -
(a potência que muda com ).
Passo 3
Critério de convergência para séries geométricas: se a razão
satisfaz
, a série geométrica converge; se
, diverge. Intuição rápida: quando
as potências
tendem a zero geometricamente, permitindo soma finita.
Aqui temos
portanto a série converge.
(Observação útil: primeiro teste necessário para qualquer série é verificar se o termo geral tende a zero. De fato
o que é necessário, mas não suficiente; o critério geométrico acima garante sufficiência.)
Passo 4
Agora vamos achar a soma. É prático calcular a soma das somas parciais e então passar ao limite. Defina a soma parcial com
termos:
Usamos a fórmula da soma finita de uma geométrica (mostro a derivação curta): para
,
Nossa soma começa em
, então
Aplicando com
:
Passo 5
Continuando os cálculos para
:
Calcule o denominador
. Substituindo:
Note que
, então
Passo 6
Tomando limite quando
: como
, tem
. Logo
Também se nota diretamente da expressão
que o resto após
termos é
, que decai muito rápido.
Resposta
A série converge e
.