Determine se a série converge ou diverge.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{5}{6^{n}};

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{5}{6^{n}}
converge ou diverge. Informações dadas:
  • Termo geral: \dfrac{5}{6^{n}} para n=1,2,3,\dots.
  • Índice de soma começa em n=1 e vai até infinito.
    O que é pedido: decidir convergência/ diver gência da série e, se convergir, achar a soma.

Passo 2

Reescrevendo o termo de forma mais sugestiva: cada termo é
\frac{5}{6^{n}} = 5\left(\frac{1}{6}\right)^{n}.
Isso é uma série geométrica (os termos são de forma constante vezes uma potência): a forma geral que usamos é, por exemplo,
\sum_{n=1}^{\infty} a\,r^{n},
onde a é uma constante multiplicativa e r é a razão comum entre termos sucessivos. Aqui identificamos:
  • a = 5 (fator multiplicativo),
  • r = \dfrac{1}{6} (a potência que muda com n).

Passo 3

Critério de convergência para séries geométricas: se a razão r satisfaz |r|<1, a série geométrica converge; se |r|\ge 1, diverge. Intuição rápida: quando |r|<1 as potências r^{n} tendem a zero geometricamente, permitindo soma finita.
Aqui temos
r=\frac{1}{6},\qquad |r|=\frac{1}{6}<1,
portanto a série converge.
(Observação útil: primeiro teste necessário para qualquer série é verificar se o termo geral tende a zero. De fato
\lim_{n\to\infty}\frac{5}{6^{n}}=0,
o que é necessário, mas não suficiente; o critério geométrico acima garante sufficiência.)

Passo 4

Agora vamos achar a soma. É prático calcular a soma das somas parciais e então passar ao limite. Defina a soma parcial com N termos:
S_N=\sum_{n=1}^{N}\frac{5}{6^{n}} = 5\sum_{n=1}^{N}\left(\frac{1}{6}\right)^{n}.
Usamos a fórmula da soma finita de uma geométrica (mostro a derivação curta): para r\neq 1,
\sum_{n=0}^{N-1} r^{n}=\frac{1-r^{N}}{1-r}.
Nossa soma começa em n=1, então
\sum_{n=1}^{N} r^{n}=r\sum_{k=0}^{N-1} r^{k}=r\cdot\frac{1-r^{N}}{1-r}.
Aplicando com r=\dfrac{1}{6}:
\sum_{n=1}^{N}\left(\frac{1}{6}\right)^{n}=\frac{\tfrac{1}{6}\,\bigl(1-(\tfrac{1}{6})^{N}\bigr)}{1-\tfrac{1}{6}}.

Passo 5

Continuando os cálculos para S_N:
S_N = 5\cdot\frac{\tfrac{1}{6}\,\bigl(1-(\tfrac{1}{6})^{N}\bigr)}{1-\tfrac{1}{6}}.
Calcule o denominador 1-\tfrac{1}{6}=\tfrac{5}{6}. Substituindo:
S_N = 5\cdot\frac{\tfrac{1}{6}\,\bigl(1-(\tfrac{1}{6})^{N}\bigr)}{\tfrac{5}{6}} =5\cdot\frac{\tfrac{1}{6}}{\tfrac{5}{6}}\bigl(1-(\tfrac{1}{6})^{N}\bigr).
Note que \dfrac{\tfrac{1}{6}}{\tfrac{5}{6}}=\dfrac{1}{5}, então
S_N = 5\cdot\frac{1}{5}\bigl(1-(\tfrac{1}{6})^{N}\bigr)=1-\left(\frac{1}{6}\right)^{N}.

Passo 6

Tomando limite quando N\to\infty: como |\tfrac{1}{6}|<1, tem \lim_{N\to\infty}\left(\tfrac{1}{6}\right)^{N}=0. Logo
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{5}{6^{n}}=\lim_{N\to\infty}S_N=\lim_{N\to\infty}\left(1-\left(\frac{1}{6}\right)^{N}\right)=1.
Também se nota diretamente da expressão S_N=1-(1/6)^N que o resto após N termos é R_N=(1/6)^N, que decai muito rápido.

Resposta

A série converge e \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{5}{6^{n}}=1.

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