Determine se a série converge ou diverge:
sumn=1^infty 3raizn-1

Passo 1

Temos a série
sumn=1^infty 3raizn-1
que envolve teste de convergência de séries infinitas. Observe que para n=1 o termo fica indefinido (denominador zero), então podemos começar a analisar a partir de n=2 sem perder o comportamento geral da série.

Passo 2

Para uma p-série
sumn=1^infty 1n^p
conhecemos que ela converge se e somente se p>1. No nosso caso, para valores grandes de n o termo
p=1/2<=1
aproxima-se de

ou seja, equivale a uma p-série com , o que sugere divergência.

Passo 3

Para formalizar pelo teste da comparação, note que para todo n>=2 vale
raizn-1
logo
3raizn-1>3raizn
Como a série
p=1/2
(diverge, pois é um múltiplo de uma p-série com ) diverge, pelo teste da comparação nossa série original também diverge.

Resposta

A série diverge.

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